matematika (lat. [ars] mathematica < grč. μαϑηματιϰὴ [τέχνη]: matematičko [umijeće], prema μάϑημα: nauk; znanje), znanstveno razvijeni logički sustav koji proučava idealne objekte i pojmove nastale apstrakcijom brojenja i mjerenja te povezuje varijable (npr. promjenljive veličine), apstraktne strukture (npr. brojeve, skupove, vektore) i prostore (npr. euklidski, vektorski, metrički, normirani). Novi teoremi dokazuju se s pomoću aksioma i već dokazanih teorema. Matematika se primjenjuje u proučavanju pojava kvantitativnih rješenja problema.
Grane su matematike: algebra, algebarska geometrija, algebarska teorija brojeva, algebarska topologija, analitička teorija brojeva, aritmetika, diferencijalne račun, geometrija (analitička geometrija, deskriptivna geometrija, diferencijalna geometrija, euklidska geometrija, neeuklidske geometrije, projektivna geometrija, sferna geometrija, sferna trigonometrija, topologija, trigonometrija), funkcionalna analiza, integralni račun, kombinatorika, linearna algebra, kompleksna analiza, matematička analiza, matematička fizika, matematička logika, matematičko programiranje, numerička matematika, statistika, teorija brojeva, teorija čvorova, teorija grafova, teorija grupa, teorija igara, teorija kaosa, teorija mjere, teorija pogrešaka, teorija skupova, teorija vjerojatnosti i dr.
Povijesni razvoj
Tijekom povijesti matematika se stalno razvijala u smislu produbljivanja i proširivanja. U egipatskim papirusima otkrivena su različita matematička dostignuća, no bez ikakva objašnjenja. U tzv. Rhindovu papirusu (→ ahmes) naveden je velik broj matematičkih postupaka starih Egipćana.
U Mezopotamiji su Sumerani razvili (seksagezimalni) brojevni sustav. Sačuvane su glinene pločice iz kojih je zamjetljiva matematička nastava. Kao pomoćna sredstva sastavljene su tablice množenja cijelim brojevima i recipročnim vrijednostima cijelih brojeva, tablice kvadrata i kvadratnih korjenova. Drugi korijen od 2 odredili su s točnošću koja od prave vrijednosti odstupa tek za jednu milijuntinu. Sumerani su poznavali i aritmetički i geometrijski red. Rješavali su linearne i kvadratne jednadžbe, a među riješenim jednadžbama nalazi se i nekoliko jednadžbi trećega stupnja. Sve to bilo je postignuto već u Hamurabijevo doba.
Stari Grci su svoja prva matematička znanja preuzeli uglavnom od Egipćana (→ tales iz mileta), ali se nisu zadovoljili praktičnom primjenom matematičkih rezultata, nego su se posvetili teorijskom istraživanju. Postavili su zahtjev da svaki zaključak mora biti logički izveden iz određenih postavki. Pitagora i njegovi učenici otkrili su različita svojstva brojeva, proučavali njihovu djeljivost, poznavali aritmetički red itd. Rješavajući različite probleme, grčki su matematičari postavili tri klasična problema geometrije (→ delski problem; kvadratura kruga; trisekcija kuta), a nakon pojave Euklidovih Elemenata iskrsnuo je i četvrti problem – je li postulat o paralelama posljedica ostalih geometrijskih postulata ili je neovisan. Otkrivene su i proučavane i ravninske i prostorne, algebarske i transcendentne krivulje. Najvažnije su krivulje drugoga reda ili konike, koje je otkrio Menehmo rješavajući delski problem, a teoriju razvio Apolonije iz Perge. Znanost o proporcijama razvio je Euklid, a Demokrit, polazeći od svojeg atomizma, razvio je metodu koju je do savršenstva doveo Arhimed, riješivši s pomoću nje velik broj problema koji se danas rješavaju integralnim računom. Do koje su mjere bila podrobna istraživanja grčkih matematičara najbolje pokazuje to što su dokazali nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale, čime su otkrili iracionalne brojeve (→ zlatni rez). Sve to dovelo je do pokušaja da se sveukupna matematika zasnuje na osnovi najnužnijega (→ aksiomatska metoda). To je bio i Euklidov cilj u njegovu djelu Elementi, koje je više od dva tisućljeća bilo udžbenik matematike. Treba spomenuti Eratostena iz Kirene, koji je otkrio Eratostenovo sito, jedini način određivanja primbrojeva tijekom dvaju idućih tisućljeća. Eratosten, Heron iz Aleksandrije (→ heronova formula), Klaudije Ptolemej i Diofant iz Aleksandrije posljednji su veliki grčki matematičari. Grci nisu razvili praktičan brojevni sustav nego su promatranja prenosili u geometrijsku formu.
Kineska matematika razvila se u II. i I. st. pr. Kr. Kinezi su razvili visoku tehniku računanja, a rješavali su i različite algebarske zadatke. Znali su vaditi drugi i treći korijen, rješavati nejednadžbe, poznavali su Pitagorin poučak, odredili približnu vrijednost 355/113 za broj π (sedam točnih znamenaka).
Najznačajniji rezultat razvoja indijske matematike u razdoblju između V. i XII. st. je pozicijski dekadski sustav, omogućen uvođenjem znaka za nulu. Uz to, razvijala se algebra, računanje s cijelim brojevima, a ne samo s pozitivnima, tako da su se pri rješavanju jednadžbi uzimale u obzir i pozitivne i negativne vrijednosti korijena, a kao rješenje i iracionalni brojevi.
Razvoj arapske znanosti započeo je prevođenjem grčkih i indijskih spisa, a potom su se pojavili i samostalni arapski radovi. al-Hvarizmi prvi je izložio algebru kao samostalnu znanost. Arapi su od Indijaca preuzeli i trigonometrijske funkcije sinus i kosinus, ali su uveli i preostale trigonometrijske funkcije i trigonometriju odvojili od astronomije kao samostalnu znanost. Bavili su se i sfernom trigonometrijom (Nasiruddin at-Tusi, XIII. st.). Arapi su povezali dvije različite matematičke misli, grčku i indijsku, i sačuvali su bogato grčko nasljedstvo. Tako je preko Arapa došla u Europu i indijska matematika, a posebno i indijske brojke, koje su poznate kao arapske brojke.
U Europi početak razvoja matematike pada u XII. st. U prvom razdoblju treba istaknuti Geronima Cardana, Niccola Fontanu Tartagliu, Ludovica Ferrarija (1522–65), koji su dali rješenje kubne i bikvadratne jednadžbe. François Viète razvio je računanje s općim brojevima i time postao osnivačem algebre. Marin Getaldić bio je Vièteov prijatelj i među prvima je prihvatio računanje s općim brojevima. Otkriće logaritama nastalo je usporednim promatranjem geometrijskog i aritmetičkoga niza. John Napier je otkrio prirodne logaritme, Henry Briggs je uveo u upotrebu dekadske logaritme. Time je matematika dobila moćno sredstvo za numeričko računanje. Tek su John Wallis i Jakob Bernoulli (potkraj XVII. st.) utvrdili da su logaritmi eksponenti, a logaritmiranje jedna od inverznih operacija potenciranja. – Evangelista Torricelli, Vicenzo Viviani, Francesco Bonaventura Cavalieri razvili su geometriju. René Descartes utemeljio je analitičku geometriju i time omogućio rješavanje mnogih problema koji su do tada bili nerješivi. Pierre de Fermat prvi je nakon grčkih matematičara došao do velikih otkrića na području teorije brojeva, a bavio se i rješavanjem problema maksimuma i minimuma. Teorijom vjerojatnosti, a također i teorijom brojeva bavio se Blaise Pascal. – Potkraj XVII. st. započelo je i istraživanje beskonačnih redova (Nicolaus Mercator i dr.). Tako su se stekle prilike za konačno rješavanje mnogih problema u infinitezimalnom računu, koje su postavili, neovisno jedan o drugome, Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Primjena infinitezimalnoga računa pokazala se osobito plodnom u astronomiji i fizici. Do početka XIX. st. mnogi znameniti matematičari razrađivali su infinitezimalni račun i primjenjivali ga na različite probleme iz prirodnih znanosti. Jednako su tako problemi iz mehanike i astronomije tražili rješenja istraživanja i proširivanja područja matematike. Među novim matematičkim disciplinama pojavile su se diferencijalna geometrija, diferencijalne jednadžbe i račun varijacija. U tom razdoblju istaknula su se Guillaume de L’Hôpital, Leonhard Euler i Pierre Simon de Laplace.
Početkom XIX. st. Augustin-Luis Cauchy postavio je temelje teorije funkcija kompleksne varijable. Niels Henrik Abel, Ferdinand Gotthold Eisenstein, Carl Gustav Jacobi i Karl Weierstrass izgradili su teoriju eliptičnih funkcija. Carl Friedrich Gauss razvio je diferencijalnu geometriju ploha. Nakon Fermata teorijom brojeva bavili su se Euler i Adrien-Marie Legendre, Sophie Germain ali je neovisno o svima Gauss u djelu Istraživanja u aritmetici (1801) postavio temelje moderne teorije brojeva. Abel je dokazao da se u općem slučaju jednadžba petog stupnja ne može riješiti s pomoću algebarskih operacija. Ta je istraživanja zaključio Évariste Galois, koji je, razvivši teoriju grupa, dobio općenit kriterij rješivosti u radikalima. Stari problem dokazivanja Euklidova aksioma o paralelama riješili su Nikolaj Ivanovič Lobačevski i János Bolyai, dokazavši da se i bez tog aksioma može neprotuslovno izvesti jedna nova geometrija – neeuklidska geometrija, a David Hilbert dao je popis aksioma koji su dovoljni za osnivanje geometrije.
U drugoj polovici XIX. st. Georg Cantor postavio je temelje teorije skupova, a teoriju funkcija realne varijable razvijali su Émile Borel, Henri Lebesgue i dr. Proučavanje najopćenitijih svojstava geometrijskih figura i prostora predmet je topologije (Georg Friedrich Bernhard Riemann, Henri Poincaré).
U XX. st., nastavljajući radove Sophusa Liea, Élie Joseph Cartan, a potom i Hermann Weyl razvijaju teoriju grupa, koja postaje izvor brojnih metoda koje se primjenjuju u matematičkoj fizici, računalnoj tehnologiji i dr. Skupina francuskih matematičara pod pseudonimom Nicolas Bourbaki pokrenula je 1933. projekt sistematizacije matematike prema suvremenim shvaćanjima.
Među najvažnijim matematičkim disciplinama su algebra, analiza (osobito funkcionalna analiza), teorija skupova, topologija, diferencijalna geometrija, algebarska geometrija, teorija brojeva i teorija vrijednosti. U moderno doba nastale su teorija informacija, kibernetika, programiranje i teorija igara. Matematika se širi, ali se istodobno otkrivaju neočekivane veze između, na prvi pogled, sasvim različitih teorija. Tako je npr., koristeći se novim matematičkim metodama, Andrew Wiles 1993. dokazao nakon gotovo 350 god. Fermatov poučak, a nakon toga britanski matematičar Martin Dunwoody dokazao je stotinu godina star Poincaréov teorem.
Logičke osnove
Noviji razvoj matematike pokazao je da klasične metode logičkoga rasuđivanja, kojima se matematika stoljećima služila, nisu nesporne kako se to nekada mislilo. Pojava antinomijâ ili paradoksâ u teoriji skupova posebno je pokazala da se o beskonačnim skupovima ne smije uvijek rasuđivati na osnovi pravilâ klasične logike apstrahirane od operiranja konačnim skupovima. Zbog toga je razvijeno nekoliko programa rekonstrukcije matematike i matematičko-logičkoga rasuđivanja uopće. Logicistički smjer polazi od koncepcije da je matematika grana logike i da je kao takvu treba razvijati. Formalistički smjer, kako ga je postavio David Hilbert, odjeljuje formalnu matematičku teoriju, koja se izgrađuje, od sadržajne, tzv. metateorije (metamatematike) s pomoću koje se ona prva izgradnja obavlja. Krajnji cilj Hilbertova programa, dokaz nekontradiktornosti tako zasnovane matematike, nije postignut, a unatoč tomu dosadašnji rezultati tog i srodnih programa izvanredno su bogati. Intuicionistički smjer, kako ga je shvatio Luitzen Egbertus Jan Brouwer, pretpostavlja, nasuprot logicizmu, da je logika grana matematike i u tom smislu genetički sekundarna, a primarne su misaone konstrukcije matematičkoga karaktera. Dvostruka negacija od A nije istoznačna s afirmacijom od A: afirmacija povlači kao posljedicu i dvostruku negaciju, ali obratno ne mora biti. Intuicionistički, ni tertium non datur nije više općenito prihvatljiv princip zaključivanja.
Intuicionistička kritika (i neki drugi razlozi) doveli su i do razvoja tzv. teorija o konstruktibilnom, u kojima se ispituju konstruktibilni matematički objekti, ali ne nužno konstruktivnim sredstvima. Te teorije, iako u nekim aspektima srodne intuicionizmu, ipak nisu uvijek intuicionistički legitimne. Poklapanje ekstenzije konstruktibilnog u nekoliko takvih teorija razvijenih na osnovi vrlo različitih ideja čini se da upućuje na to da su odgovarajućim pojmovima matematički uspješno precizirani neki od najvažnijih intuitivnih matematičkih pojmova.
Danas se pod skupnim nazivom (logičkih) osnova matematike razumijeva – uz logicizam, formalizam i intuicionizam – niz daljnjih matematičko-logičkih teorija: tzv. polivalentne ili viševaljane logike, različite modalne logike, zatim probablističke logike, ultraintuicionističke logike i dr.
