teorija skupova, grana matematike koja proučava svojstva skupova; usko je povezana s matematičkom logikom, suvremenom algebrom, geometrijom, topologijom, fizikom i dr.
Omogućuje precizno definiranje složenih matematičkih pojmova. Primjerice matematičke strukture kao što su grafovi, mnogostrukosti, prsteni i vektorski prostori definiraju se kao skupovi koji zadovoljavaju različita (aksiomatska) svojstva. Relacije ekvivalencije i uređaja sveprisutne su u matematici, a teorija matematičkih relacija može se opisati teorijom skupova.
Povijesni razvoj
Naivnu teoriju skupova utemeljio je Georg Cantor u djelu Osnove opće teorije mnogostrukosti (1883). Skup je intuitivno opisan kao kolekcija određenih, prepoznatljivih objekata (elemenata skupa) koji zajedno čine cjelinu. Beskonačne skupove proučavao je kao matematičke objekte ravnopravne onima koji se mogu konstruirati u konačnome broju koraka. U Cantorovoj teoriji otkriveni su različiti paradoksi. Jedan od najpoznatijih je Russellov paradoks ili Russellova antinomija, nazvana prema Bertrandu Russellu koji ju je objavio u djelu Principi matematike (1903). Tražio se odgovor na pitanje sadrži li neki skup sama sebe kao element ili ne sadrži. Rasprava o paradoksima nije dovela do napuštanja teorije skupova, nego do njezina daljnjega razvoja.
Elementarna teorija skupova može se proučavati u neformalnom i intuitivnom smislu, a može se podučavati u osnovnim školama s pomoću Vennovih dijagrama. Intuitivni pristup prešutno pretpostavlja da se skup može formirati iz klase svih objekata koji zadovoljavaju bilo koji određeni uvjet. U nastavu matematike u hrvatskim osnovnim školama osnove teorije skupova uvedene su 1975.
Aksiomatska teorija skupova ne definira skup ni temeljnu relaciju »biti element«. Ti pojmovi moraju zadovoljavati određeni sustav aksioma. Aksiomi izražavaju svojstva koja su u skladu s intuitivnim shvaćanjem nedefiniranih pojmova. Prvi aksiomatski sustav u teoriju skupova uveo je Ernst Zermelo 1908., a 1922. nadopunio ga je Adolf Abraham Fraenkel. Taj se sustav danas naziva Zermelo-Fraenkelov sustav i najčešće se primjenjuje, ali nije jedini. Suvremeno istraživanje teorije skupova sadrži raznolike teme, od strukture realnih brojeva do proučavanja konzistentnosti velikih kardinalnih brojeva.
U Hrvatskoj su početkom XX. st. postojali matematičari koji su teoriju skupova smatrali temeljnim matematičkim znanjem kojim trebaju ovladati nastavnici matematike. Marije Kiseljak napisao je opsežnu knjigu (rukopis od 1160 tipkanih stranica) naslovljenu Nauk o skupovima kao uvod u teoriju funkcija. Đuro Kurepa objavio je sveučilišni udžbenik Teorija skupova (1951). Pavle Papić je svoja predavanja o teoriji skupova na Prirodoslovno-matematičkome fakultetu Sveučilišta u Zagrebu objavio pod naslovom Uvod u teoriju skupova (2000).
Algebra skupova
Osnovne operacije sa skupovima su unija, presjek i komplement. Algebra skupova je skupovna analogija algebre realnih brojeva. Neka su A, B, C podskupovi univerzalnoga skupa U. Tada vrijede ove tvrdnje:
1) Zakoni komutativnosti
A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A;
2) Zakoni asocijativnosti
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
3) Zakoni distributivnosti
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
4) Zakoni idempotentnosti
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
5) De Morganovi zakoni (po Augustusu De Morganu)
(A ∪ B)C = AC ∩ BC,
(A ∩ B)C = AC ∪ BC;
6)
A ∪ ∅ = A,
A ∪ U = U;
7)
A ∪ AC = U,
A ∩ AC = ∅;
8)
∅C = U,
UC = ∅.
Svaka se od navedenih jednakosti može dokazati tako da se dokaže kako je lijeva strana jednakosti sadržana u desnoj strani i obratno. Neka svojstva operacija unije i presjeka za skupove analogna su svojstvima zbrajanja i množenja za brojeve. Međutim, zakoni idempotentnosti i distributivnosti unije prema presjeku nemaju analogije među operacijama s brojevima.
Iz svakog identiteta izgrađenoga s pomoću operacija unija i presjek njihovom međusobnom zamjenom dobiva se ispravni identitet (zakon dualiteta).
Kardinalni broj skupa
Dva skupa su ekvivalentna, tj. imaju isti kardinalni broj ako postoji bijekcija (→ funkcija) jednoga na drugi. Praznomu skupu pridružuje se kardinalni broj 0, konačnomu skupu koji sadrži n elemenata pridružuje se kardinalni broj n, a beskonačnomu skupu pridružuje se beskonačni kardinalni broj. Za skupove koji imaju isti kardinalni broj kao i skup prirodnih brojeva kaže se da su prebrojivi (npr. skup svih cijelih brojeva ili skup racionalnih brojeva), a inače da su neprebrojivi (npr. skup realnih brojeva). Ako je skup A ekvivalentan s podskupom B, ali ne i obratno, kaže se da je kardinalni broj od A manji od kardinalnoga broja od B. U tom smislu kardinalni je broj skupa prirodnih brojeva manji od kardinalnoga broja realnih brojeva. U novije je doba dokazano da je u formalnoj teoriji skupova neodlučiv problem ima li između tih dvaju kardinalnih brojeva još koji (hipoteza kontinuuma). Drugim riječima, pretpostavka da drugih kardinalnih brojeva između tih dvaju brojeva nema ne dovodi do kontradikcije u Zermelo-Fraenkelovoj teoriji, kao ni suprotna pretpostavka.
Primjena
Iako se bilo koja vrsta objekata može sakupiti u skup, teorija skupova se najčešće primjenjuje na objekte koji su relevantni za matematiku, osobito u obliku Zermelo-Fraenkelove teorije skupova s aksiomom izbora. Osim svoje temeljne uloge, teorija skupova je samostalna grana matematike s aktivnom istraživačkom zajednicom.
