vektorski prostor

vektorski prostor (linearni prostor), jedna od temeljnih struktura suvremene matematike, koja obuhvaća općenitije matematičke objekte od euklidskoga prostora, a nastala je poopćenjem i apstrakcijom prostora orijentiranih dužina. Vektorski prostor nad poljem P = {α, β, …}, elementi kojega se nazivaju skalari, jest skup V = {a, b, …}, elementi kojega se nazivaju vektori, a na kojem su definirane dvije operacije:

1) zbrajanje vektora: a + b = c ∈ V, s obzirom na koje je V Abelova grupa (→ grupa);

2) produkt vektora a sa skalarom λ koji udovoljava ovim zahtjevima:

a) λ (μa) = (λμ) a;

b) (λ + μ) a = λa + μa;

c) λ (a + b) = λa + λb;

d) 1a = a.

Iz ovih aksioma slijedi egzistencija jednoznačno određenoga nulvektora 0 sa svojstvom a + 0 = a, i za svaki vektor a njemu suprotnoga vektora –a, sa svojstvom a + (–a) = 0.

Konačna suma oblika

,

pri čem su λ_l, λ₂, λ₃, …, λ_k skalari, a a_l, a₂, a₃, …, a_k vektori, naziva se linearna kombinacija vektora a_l, …, a_k. Kaže se da su ti vektori linearno neovisni, ako njihova linearna kombinacija može iščezavati jedino tako da su svi λ_i = 0, odn. da su linearno ovisni, ako postoji bar jedna takva linearna kombinacija koja iščezava, a da je pritom bar jedan od λ_i ≠ 0. Skup vektora naziva se linearno neovisnim ako je svaki njegov konačan podskup linearno neovisan. Linearno neovisan skup B u vektorskom prostoru V naziva se njegovom bazom, ako oni razapinju cijeli prostor, tj. ako se svaki vektor a ∈ V može predočiti kao linearna kombinacija vektora baze, . Skalari α_i nazivaju se pritom koordinatama vektora a u toj bazi.

Može se dokazati da svaki vektorski prostor ima bazu i da, ako postoji baza s konačno mnogo elemenata, svaka druga baza ima isto toliko elemenata. Za takav prostor kaže se da je konačnodimenzionalan, a broj elemenata baze da je njegova dimenzija. Primjeri su vektorskoga prostora skup radijvektora (tj. orijentiranih dužina s fiksnim početkom) s obzirom na vektorske operacije, skup svih polinoma f(x) stupnja ≤ n s obzirom na operacije zbrajanja polinoma (f + g) (x) = f(x) + g(x) i njihova množenja skalarom (λ · f) (x) = λ · f(x).

Linearni operator je funkcija A kojoj je područje definicije vektorski prostor V nad poljem P, a vrijednosti poprima u nekom vektorskom prostoru W nad istim poljem P i pritom ima svojstvo linearnosti: A(αa + βb) = αA(a) + βA(b) za bilo koje skalare α, β i vektore a, b prostora V. Ako je A bijekcija (→ funkcija) sa V na W, tada je i inverzna funkcija A^–1 linearni operator. U tom slučaju A se naziva izomorfizam vektorskih prostora V i W, a prostori V i W izomorfnima. Konačnodimenzionalni prostori V i W izomorfni su onda i samo onda kada su im jednake dimenzije. Iz svojstva linearnosti slijedi da je linearni operator A potpuno određen djelovanjem na neku bazu e₁, …, e_n vektorskoga prostora V. Ako je f₁, …, f_m baza vektorskoga prostora W, onda se svaki od vektora Ae₁, …, Ae_nmože napisati kao linearna kombinacija vektora f₁, …, f_m:

.

Tako je operatoru A pridružena matrica s n redaka i m stupaca:

koja se naziva matrica operatora A u paru baza (e), (f). Ovo pridruživanje uspostavlja vrlo usku vezu između teorije matrica i teorije linearnih operatora.

Vektorski prostor je baza na kojoj se zasniva niz pojmova i teorija suvremene matematike (→ matrica; tenzor; itd.) i koji se primjenjuje u matematičkoj analizi, funkcionalnoj analizi, diferencijalnoj geometriji itd., te u fizici.