tenzor

tenzor (prema lat. tensus: nategnut, napet), u matematici, fizici i tehnici, veličina određena s više od tri broja i nekim dodatnim svojstvima. Mnoge fizikalne veličine određene su jednim brojem, kao temperatura, gustoća, elektrostatički potencijal. Takve se veličine nazivaju skalarima. Usmjerene veličine kao sila, brzina, ubrzanje određuju se s tri broja, npr. njihovim komponentama u tri međusobno okomita smjera. Te su veličine vektori. No ima veličina koje su određene s još više brojeva, kao npr. deformacija, naprezanje, električna susceptibilnost. Takve su veličine tenzori. Kao što isti vektor u različitim koordinatnim sustavima ima različite komponente, tako se mijenjaju i komponente tenzora, tj. brojevi kojima je tenzor određen, kada se prelazi iz jednoga koordinatnog sustava u drugi. To mijenjanje očituje se u zakonu transformacije tenzora. Ako se koordinate u nekom (općenito krivocrtnom) koordinatnom sustavu S u trodimenzionalnom prostoru nazivaju x₁, x₂, x₃, a koordinate u nekom drugom sustavu , veza između jednih i drugih koordinata, tj. transformacija koordinata, glasi:

  (i = 1, 2, 3),

gdje su f₁, f₂, f₃ tri zadane funkcije. Parcijalne derivacije koordinata dio su transformacija koje vrijede za tenzore. Razlikuju se kontravarijantni i kovarijantni tenzori. Ako su a_ik(i, k = 1, 2, 3) komponente kovarijantnoga tenzora drugog reda (tj. tenzora s dva indeksa) u nekom sustavu S, a ā_ik njegove komponente u sustavu , onda vrijedi:

.

Komponente kontravarijantnoga tenzora označuju se s a^ik i transformacija glasi:

.

Tenzor drugog reda u trodimenzionalnom prostoru ima devet komponenata, jer svaki od dva indeksa može primiti tri vrijednosti: 1, 2, 3. Ako je tenzor simetričan, tj. ako vrijedi a_ik = a_ki, samo je šest komponenata neovisno odaberivo, a ako je antisimetričan, tj. a_ik = –a_ki, samo tri komponente mogu biti neovisne. Tenzor može imati više od dva indeksa, a time i više komponenata. Primjerice tenzor fotoelastičnosti i tenzor elektrostrikcije jesu četvrtoga reda, tj. imaju četiri indeksa. Tenzori mogu biti i miješani, tj. neki indeksi mogu biti kontravarijantni, a neki kovarijantni.

Tenzori se promatraju i u višedimenzionalnim prostorima i tada indeksi primaju onoliko vrijednosti koliko prostor ima dimenzija. Napose se u Einsteinovoj teoriji relativnosti upotrebljavaju tenzori u četverodimenzionalnom kontinuumu prostor–vrijeme i njihovi indeksi primaju vrijednost od 1 do 4.

Vektor se može shvatiti kao tenzor prvog reda (s jednim indeksom), a skalar kao tenzor nultoga reda (bez indeksa). Prirodni matematički okvir za pojam tenzora je diferencijalna geometrija.