vektor

vektor (lat. vector: prenositelj).

1. U matematici, element vektorskoga prostora. Pojam vektora razvio se iz teorije orijentiranih ili usmjerenih dužina. Orijentirana dužina AB dužina je AB kojoj je određena početna A točka i završna B točka, pa se grafički označuje strelicom od A prema B. Dvije orijentirane dužine AB i CD ekvivalentne su ako se jedna iz druge mogu dobiti paralelnim pomakom. Skup svih međusobno ekvivalentnih orijentiranih dužina naziva se vektor (a), kojemu je svaka od tih orijentiranih dužina AB, CD, … reprezentant.

Vektorska algebra omogućuje algebarski prikaz vektora u trodimenzijskom prostoru i izvođenje algebarskih operacija nad vektorima, vektorska analiza bavi se diferenciranjem i integriranjem vektorskih i skalarnih polja, tj. primjenom metoda infinitezimalnoga računa na vektore, a linearna algebra proučava vektorske prostore, linearne operatore i sustave linearnih jednadžbi.

Vrste vektora

Jedinični vektor jediničnoga je iznosa, nulvektor je duljine jednake nuli, radijvektoru je početak u nekoj nepomičnoj točki, obično u ishodištu nekoga koordinatnog sustava, a završetak u promatranoj točki. Kolinearni vektori paralelni su s istim pravcem, a komplanarni vektori paralelni su s istom ravninom. Međusobno suprotni vektori jednaki su po duljini i suprotnoga smjera.

Vektorske operacije

1) Zbrajanje a + b = c, gdje je c vektor određen svojim reprezentantom OC, koji se dobiva pravilom paralelograma iz reprezentanata OA i OB vektora a, odnosno b po shemi OA + OB = OC, ili pravilom trokuta po shemi OA + AC = OC. Zbrajanje je komutativno i asocijativno.

2) Umnožak vektora sa skalarom (brojem) t, ta = b, jest vektor b paralelan s vektorom a i s njim iste ili suprotne orijentacije već prema tomu je li t > 0 ili t < 0 dok mu je duljina ili modul |ta| = |t| |a|. Svojstva su ove operacije: (st) a = s (ta); (s + t) a = sa + ta; t (a + b) = ta + tb.

3) Skalarni umnožak a ∙ b = |a| ∙ |b| ∙ cos φ jest skalar, gdje je φ kut između vektora a i b. Svojstva su mu: komutativnost a ∙ b = b ∙ a, distributivnost (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c i t(a · b) = (ta) · b = a · (tb).

4) Vektorski umnožak a × b = c jest vektor okomit na a i b, koji s njima čini tzv. desnu trojku i vrijedi |a × b| = |a| · |b| · sin φ.

5) Za mješoviti vektorski umnožak vrijedi: (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b.

6) Za dvostruki vektorski umnožak vrijedi: (a × b) × c = (a · c)b – (b · c)a.

Prikaz vektora u Kartezijevu koordinatnom sustavu

U Kartezijevu koordinatnom sustavu vektori se izražavaju s pomoću koordinata i jediničnih vektora i, j, k u smjerovima koordinatnih osi x, y i z. Primjerice, ako je vektorima a i b početak u ishodištu koordinatnog sustava a završetci u točkama A(a_x, a_y, a_z) i B(b_x, b_y, b_z), tada je a = a_x i + a_y j + a_z k i b = b_x i + b_y j + b_z k.

Vektorske operacije u Kartezijevu koordinatnom sustavu:

1) zbrajanje a + b = (a_x + b_x) i + (a_y + b_y) j + (a_z + b_z) k,

2) umnožak vektora sa skalarom ta = ta_x i + ta_yj + ta_zk,

3) skalarni umnožak a ∙ b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z,

4) vektorski umnožak a × b = (a_y b_z – a_z b_y) i + (a_z b_x – a_x b_z) j + (a_x b_y – a_y b_x) k.

Duljina vektora a = a_x i + a_y j + a_z k dana je izrazom: $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$

Kut između vektora a = a_xi + a_y j + a_z k i b = b_x i + b_y j + b_z k može se odrediti iz izraza:

$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi =\frac{a\cdot ba\cdot b}{ab}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}.$$

2. U fizici, veličina koja je definirana ako su određeni apsolutni iznos (vrijednost, intenzitet, modul), pravac i smjer duž pravca bez obzira na položaj hvatišta (početne točke vektora). U koordinatnom sustavu vektor je definiran s pomoću svojih projekcija na koordinatne osi. Vektori su npr. sila, brzina, ubrzanje, jakost električnoga polja. Grafički, vektori se prikazuju s pomoću usmjerenih dužina. Za razliku od vektora, veličine definirane samim iznosom, kao masa, energija, temperatura i dr:, nazivaju se skalari.

3. U biologiji: a) organizam, npr. komarac ili krpelj, koji prenosi mikroorganizme, uzročnike bolesti; b) u genetičkom inženjerstvu, vektori su molekule DNA u koje se mogu ugraditi sintetski ili prirodni geni i potom prenijeti u stanicu domaćina. Kao vektori najčešće služe plazmidi i virusne DNA, sposobni za replikaciju u ciljnim stanicama. Kombinacijom plazmida i bakteriofaga dobiveni su kozmidi, vektori prikladni za kloniranje većih isječaka DNA. Klonirani geni u transformiranoj će stanici domaćina proizvoditi bjelančevine za strukturu kojih nose informaciju, pa će toj stanici donijeti svojstva koja prije nije imala. (→ rekombinantna dna)