geometrija (geo- + -metrija), grana matematike koja u svojoj izvornoj problematici proučava položaj, oblik, i svojstva geometrijskih tijela u prostoru te njihov međusobni odnos. Tijekom daljnjeg razvoja njezin je predmet proučavanja postao širi i apstraktniji.
Podjela geometrije
Danas se geometrija povezuje i isprepleće s drugim matematičkim disciplinama (
algebarska geometrija,
matematička analiza,
diferencijalne jednadžbe,
topologija i dr.), pa se gube njezine oštre granice. Različiti geometrijski sustavi međusobno se razlikuju prema tipu prostora koji istražuju (
euklidska geometrija, geometrija Lobačevskoga, Riemannova geometrija i dr.), prema metodama kojima se služe (
analitička geometrija, sintetička geometrija,
afina diferencijalna geometrija), prema dimenziji prostora (
planimetrija,
stereometrija, geometrija
n-dimenzionalnoga prostora), ili pak prema klasi objekata koje proučavaju (
deskriptivna geometrija,
projektivna geometrija,
sferna geometrija, teorija površina, geometrija trokuta i sl.). Danas se osobito naglo razvija
diferencijalna geometrija.
Povijesni razvoj
Podrijetlo geometrije vezano je uz praktične potrebe mjerenja površina zemljišnih parcela (odatle joj naziv – zemljomjerstvo) i volumena posuda, skladišta i dr. Najjednostavnije geometrijske činjenice bile su poznate u Mezopotamiji i Egiptu (3100. pr. Kr.), a imale su vjerojatno više empirijski nego deduktivni značaj. Novo razdoblje u razvoju geometrije u VII. st. pr. Kr. počinje, kada je iz Egipta i Babilona, prema predaji, bila prenesena u Grčku. U filozofskim školama
Talesa iz Mileta,
Pitagore i dr. rješavani su klasični problemi
udvostručenja kocke,
kvadrature kruga i
trisekcije kuta i otkrivene su mnoge nove geometrijske činjenice (npr. Talesov poučak,
Pitagorin poučak), koje se već strogo dokazuju, pa geometrija izrasta u znanost. Visok stupanj njezina razvoja omogućio je da se ona zasnuje strogo aksiomatski i deduktivno po načelima Aristotelove logike. Najuspjelije je to ostvario (oko 300. pr. Kr.)
Euklid u svojem djelu
Elementi. Novim otkrićima obogatili su geometriju najveći grčki matematičari
Arhimed i
Apolonije iz Perge u III. st. pr. Kr.
Analitička geometrija razvija se početkom XVII. st., kada je René Descartes uveo u geometriju upotrebu koordinatnih sustava, čime je omogućeno da se geometrijski problemi rješavaju algebarskim metodama.
Diferencijalna geometrija nastaje primjenom metoda infinitezimalnoga računa na analitičku geometriju u radovima Gasparda Mongea i Leonharda Eulera u XVIII. st.
Deskriptivna geometrija se razvila udovoljavajući potrebama tehnike, građevinarstva i osobito arhitekture, a znanstveni joj je temelj postavio Monge u djelu Deskriptivna geometrija (1798).
Projektivna geometrija utemeljena je radovima Jeana-Victora Ponceleta (početkom XIX. st.).
Neeuklidske geometrije nastaju početkom XIX. st., kao rezultat istraživanja problema zasnivanja geometrije i specijalno problema paralela. Do toga su došli Nikolaj Ivanovič Lobačevski i János Bolyai. Značenje je tih novih spoznaja u tome što su one pokazale da prostor i njegova geometrija nisu apriorno jedinstveno predodređeni, nego su i logički moguće različite varijante, koje se razlikuju po sustavu aksioma na kojima se temelje. Trebalo bi da eksperiment odluči koja od njih bolje odgovara svojstvima realnoga prostora. U tom su smislu razrađeni različiti geometrijski sustavi (npr. projektivna geometrija, afina geometrija, eliptična geometrija). U tom su razdoblju osobito plodne i dalekosežne bile ideje Georgea Friedricha Bernharda Riemanna, koji je (1854) definirao poopćeni pojam prostora (poslije nazvan Riemannov prostor). U njemu je zadana duljina linijskih elemenata, pa se mjerenje konačnih udaljenosti obavlja integracijom beskonačno malih odsječaka. Takvi su prostori našli široku primjenu u fizici. U povijesnom razvoju geometrije važno mjesto zauzima problem njezina strogo aksiomatskoga zasnivanja kao deduktivnoga sustava, te problem neproturječnosti, potpunosti i neovisnosti njezine aksiomatike. Tu zadaću, koju Euklid u svojim Elementima nije u potpunosti riješio, 1899. riješio je David Hilbert. Za definiciju i sistematizaciju različitih geometrijskih sustava osobito su značajne ideje Franza Kleina, poznate kao Erlangenski program.
