diferencijalna jednadžba, jednadžba u kojoj su sadržane veze između nepoznatih funkcija i njihovih derivacija po nezavisnoj varijabli ili nezavisnim varijablama (→ diferencijalni račun). Red najviše derivacije koja se nalazi u jednadžbi je red diferencijalne jednadžbe.
Vrste diferencijalnih jednadžbi
Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba kojoj nepoznata funkcija ovisi samo o jednoj varijabli, a njezin je opći oblik: F (x, y, y', y'', …, y(n)) = 0, gdje je x nezavisna varijabla, y (x) nepoznata funkcija i y' (x), y'' (x), …, y(n) (x) derivacije nepoznate funkcije, npr. Abelova diferencijalna jednadžba prvoga reda, Bernoullijeva diferencijalna jednadžba prvoga reda.
Linearna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se nepoznata funkcija i njezine derivacije pojavljuju u linearnom obliku. Primjerice, linearna diferencijalna jednadžba drugoga reda ima oblik: a (x) y'' + b (x) y' + c (x) y = f (x), npr. hipergeometrijska jednadžba. Ako je koeficijent a = 0, jednadžba postaje linearna diferencijalna jednadžba prvog reda, ako su koeficijenti uz y'', y' i y konstante, onda postaje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima.
Homogena linearna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj su linearna kombinacija derivacija određene funkcije i same te funkcije izjednačene s nulom, npr. u linearnoj diferencijalnoj jednadžbi drugoga reda a (x) y'' + b (x) y' + c (x) y = f (x) funkcija f (x) je jednaka nuli: f (x) = 0.
Nehomogena linearna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj su linearne kombinacije derivacija određene funkcije i same te funkcije različite od nule, npr. u linearnoj diferencijalnoj jednadžbi drugog reda a (x) y'' + b (x) y' + c (x) y = f (x) funkcija f (x) je jednaka nuli: f (x) ≠ 0.
Nelinearna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja nije linearna, npr. populacijska jednadžba.
Parcijalna diferencijalna jednadžba sadržava parcijalne derivacije jedne ili više nepoznatih funkcija koje ovise o dvjema ili više nezavisnih varijabli. Primjerice, parcijalna diferencijalna jednadžba y (∂z/∂x) – x (∂z/∂y) = z sadržava nepoznatu funkciju z = z (x, y) po nezavisnim varijablama x i y.
Linearna parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se nepoznata funkcija i sve njezine parcijalne derivacije pojavljuju linearno, npr. Schrödingerova jednadžba.
Semilinearna parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se sve parcijalne derivacije nepoznate funkcije pojavljuju linearno, ali sama nepoznata funkcija nije linearna.
Kvazilinearna parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se parcijalne derivacije nepoznate funkcije najvišega reda pojavljuju linearno s koeficijentima koji su funkcije nezavisnih varijabli, nepoznate funkcije i njezinih parcijalnih derivacija nižega reda.
Nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja nije linearna, semilinearna ni kvazilinearna.
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači odrediti sve funkcije i njihove derivacije koje ju identički zadovoljavaju. Pri rješavanju rabe se složene metode koje sadržavaju postupke integriranja. (→ integralni račun)
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda je obitelj funkcija Φ (x, y, C1, C2, …, Cn) = 0 koja ju identički zadovoljava, gdje su C1, C2, …, Cn realne konstante.
Posebno (partikularno) rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda dobiva se iz općega rješenja za konkretne vrijednosti konstanti C1, C2, …, Cn. Kako bi se odredilo neko posebno rješenje, obično se postave dodatni zahtjevi, tzv. početni ili rubni uvjeti kojima ono mora udovoljavati. Ako je opće rješenje poznato, onda se iz njega, na temelju početnog uvjeta, lako izdvaja traženo posebno rješenje. Opće rješenje je skup svih posebnih rješenja.
Singularno rješenje je rješenje diferencijalne jednadžbe koje se ne može dobiti iz općega rješenja ni za jednu vrijednost konstanti C1, C2, …, Cn.
Samo je malen broj vrsta diferencijalnih jednadžbi rješiv jednostavnim metodama. Iako je razmjerno lako konstruirati diferencijalnu jednadžbu koja opisuje neki problem, nije ju lako riješiti. Mnoge se vrste diferencijalnih jednadžbi za praktične potrebe rješavaju aproksimativno (približno), odnosno iteracijskim postupcima numeričke matematike s pomoću računala.
Osnovna pravila diferenciranja
Ako su u i v realne diferencijabilne funkcije a C realna konstanta, vrijede sljedeća pravila:
dC = 0,
d (Cu) = Cdu,
d (u + v) = du + dv,
d (u − v) = du – dv,
d (uv) = (du) v + udv,
d (u/v) = (vdu – udv)/v² (za v ≠ 0),
duC = CuC−1 du,
d (ln u) = u−1du (za u > 0),
deu = eudu,
dCu = Culn Cdu (za C > 0).
Primjena diferencijalnih jednadžbi
Diferencijalne jednadžbe se često primjenjuju za matematičko izražavanje problema u diferencijalnoj geometriji, fizici i drugim znanostima i u različitim granama tehnike.
Obična diferencijalna jednadžba prvoga reda može povezati električnu struju I i promjenu električnoga naboja dQ u nekom vremenskom intervalu dt, dakle: I = dQ/dt; može opisati zakon radioaktivnog raspadanja: dN(t)/dt = –λN(t), gdje je N(t) broj neraspadnutih radioaktivnih jezgara u nekom trenutku, dN(t) promjena broj neraspadnutih radioaktivnih jezgara, λ konstanta raspada, a znak minus opisuje činjenicu da se povećanjem vremena broj neraspadnutih jezgara smanjuje i dr.
Laplaceova diferencijalna jednadžba je homogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda Δu = 0 koja može opisati električni potencijal φ (x, y, z) u vakuumu kad je gustoća električnoga naboja jednaka nuli: Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = 0 .
Poissonova diferencijalna jednadžba je nehomogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda Δu = f kojom se može opisati električni potencijal φ (x, y, z) pri danome rasporedu električnih naboja: Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = ρ/ε0, gdje je ρ gustoća električnoga naboja, a ε0 dielektrična permitivnost vakuuma.
