diferencijalni račun

diferencijalni račun, područje matematičke analize koje ispituje funkcije koristeći se njihovim derivacijama, proučava brzine kojima se mijenjaju određene veličine (funkcije) s obzirom na promjene vrijednosti drugih veličina (varijabli) o kojima su ovisne. Primjenjuje se za određivanje minimalnih i maksimalnih vrijednosti funkcija, odnosno u optimiranju procesa u tehničkim ili ekonomskim sustavima. Diferencijalne jednadžbe sadržavaju veze između nepoznatih funkcija i njihovih derivacija po nezavisnoj varijabli ili nezavisnim varijablama.

Povijesni razvoj

Diferencijalni račun istodobno su otkrili Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton (u drugoj polovici XVII. st.), prvi u geometriji, polazeći od problema tangente, drugi u mehanici, rješavajući problem brzine, a razvoju su osobito pridonijeli Niels Henrik Abel, Jakob Bernoulli, Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy, Leonhard Euler, Michel Rolle, Karl Weierstrass.

Derivacija

Diferencijalni račun daje pravila s pomoću kojih se može izračunati derivacija funkcije y = f′ (x), a proces tog izračunavanja naziva se deriviranje.

Derivacija u nekoj točki krivulje funkcije y = f(x) jest koeficijent smjera tangente (nagiba tangente u odnosu na apscisu) u toj točki, tj. funkcija je derivabilna u nekoj točki ako njezina krivulja u toj točki ima tangentu.

Kao što je prikazano na grafu funkcije desno, kroz točke A(x, y) i B(x + Δx, y + Δy) krivulje y = f(x) povučena je sekanta AB. Koeficijent smjera sekante AB jednak je kutu što ga ona zatvara s osi x, dakle: tan β = Δy/Δx. Prirasti Δx i Δy bit će to manji što je točka B bliža točki A. Tada kut β teži prema kutu α, a prirasti Δx i Δy prema nuli, tj. β → α, Δx → 0, Δy → 0. Zato je derivacija f′(x) funkcije f(x) jednaka koeficijentu smjera tangente krivulje y = f(x) u nekoj njezinoj točki.

Budući da je derivacija funkcije opet funkcija, ona se može ponovno derivirati, što dovodi do viših derivacija. Parcijalne derivacije oblikuju se kod funkcija s više varijabli s obzirom na svaku pojedinu nezavisnu varijablu.

Diferencijal funkcije

Diferencijal je linearna aproksimacija promjene vrijednosti (prirasta) funkcije f pri beskonačno maloj (infinitezimalnoj) promjeni vrijednosti (argumenta) neovisne veličine (varijable). Ako funkcija y = f(x) ima u točki x određenu derivaciju f′(x), onda je prema definiciji Δx → 0, lim Δy/Δx = f′(x). Prije prijelaza na granicu je Δy/Δx = f′(x) + ε, gdje ε teži nuli istodobno kada i Δx. Prema tome je Δy = f′(x) Δx + εΔx. Prvi član zbroja na desnoj strani jest diferencijal funkcije y = f′(x), a bilježi se simbolički dy i piše dy = f′(x) Δx ili dy = f′(x) dx. To omogućuje da se derivacija prikaže kao količnik diferencijala, tj. f′(x) = dy/dx, zbog čega se često derivacija naziva diferencijalni kvocijent.