parcijalna derivacija

parcijalna derivacija, derivacija funkcije nekoliko varijabli po jednoj od njih, pri čem se ostale varijable smatraju konstantnima. Npr. parcijalna derivacija funkcije u = f (x, y, z, …, t) po x označuje se kao ∂u/∂x , a određuje jednadžbom:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y,z,\dots ,t)-f(x,y,z,\dots ,t)}{\mathrm{\Delta }x}.}$

U tom slučaju prirast dobiva samo jedna od neovisnih varijabli. Funkcija n varijabli ima n parcijalnih derivacija prvoga reda. Npr. primjenjuje se pri računanju gradijenta. Kod derivacija viših redova pojavljuju se i mješovite derivacije, npr. za funkciju u = f (x, y) to su ∂²u/∂x² , ∂²u/∂xy i ∂²u/∂y² , a potpuni diferencijal drugoga reda funkcije u:

d²u = d(du) = ∂²u/∂x² dx² + 2 ∂²u/∂x∂y dxdy + ∂²u/∂y² dy².

Općenito za potpuni diferencijal n-tog reda funkcije od t varijabli vrijedi:

${\displaystyle {\mathrm{d}}^{n}u(x,y,z,\dots ,t)={(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\mathrm{d}y+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\mathrm{d}z+\cdots +\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{d}t)}^{n}u.}$.

(→ diferencijalni račun)