topologija (topo- + -logija), grana matematike koja proučava svojstva prostora nepromjenljiva pri neprekidnim deformacijama kao što su rastezanje, savijanje i uvijanje. Neprekidne deformacije su transformacije (funkcije) koje preslikavaju jedan prostor u drugi, pridružujući svakoj točki prvoga prostora jednu točku drugoga prostora tako da se ne naruši odnos »blizine« točaka u prostoru. Od posebne su važnosti neprekidne bijekcije; ako je k tomu i pripadno inverzno preslikavanje neprekidno, onda je riječ o topološkim preslikavanjima ili homeomorfizmima koji čuvaju topološku strukturu (to su savijanja i rastezanja bez kidanja i lijepljenja, stvaranja ili uklanjanja rupa). Dva prostora koja se mogu jedan na drugi topološki preslikati sa stajališta su topologije ekvivalentna. Tako su npr. kocka i kugla ekvivalentne, jer se očito može opisanim deformacijama prijeći iz kocke u kuglu i obrnuto. Topološke invarijante svojstva su koja se ne mijenjaju pri topološkim preslikavanjima. Primjer je takve invarijante dimenzija. Kocka i kvadrat nisu topološki ekvivalentni, jer su različitih dimenzija (3 odnosno 2). Sfera i torus pak iste su dimenzije (2), a nisu topološki ekvivalentni; naime, svaka jednostavna zatvorena krivulja na sferi dijeli je na dva dijela, dok na torusnoj plohi postoje jednostavne zatvorene krivulje, koje je ne komadaju.
Topologija se razvila početkom XX. st., osobito radovima Georga Cantora i Henrija Poincaréa, te Felixa Hausdorffa, Mauricea Frécheta i Luitzena Egbertusa Jana Brouwera. Do njezina razvoja doveli su s jedne strane problemi matematičke analize, napose teorije realnih funkcija, a s druge strane geometrijski problemi te problemi teorije Riemannovih ploha. Odgovarajući tim dvjema skupinama problema nastala su dva smjera u topologiji: skupovna i kombinatorna topologija. S vremenom se pokazalo da je kombinatorno obilježje algebarske naravi, pa je naziv kombinatorna topologija postupno zamijenjen nazivom algebarska topologija. U algebarskoj topologiji topološkim prostorima pridružuju se algebarske strukture (grupe, prstenovi itd.) koji su topološke invarijante. Danas grane topologije čine jedinstvenu teoriju u kojoj su neki od najvažnijih dijelova: teorija homologije, teorija homotipije i diferencijalna topologija. Topologija je osnova mnogih suvremenih grana matematike, a posebno nalazi primjenu u teoriji funkcija, funkcionalnoj analizi, diferencijalnim jednadžbama te diferencijalnoj geometriji i algebarskoj geometriji.
