topološki prostor

topološki prostor, predmet proučavanja topologije. Topološki je prostor skup T u kojem je zadana neka množina podskupova U sa sljedećim svojstvima: a) unija od bilo koliko skupova iz U opet je element od U; b) presjek od konačno mnogo skupova iz U opet je element od U; c) cijeli skup T i prazan skup 0 elementi su od U. Elementi od U nazivaju se otvorenim skupovima topološkoga prostora T. Svaki metrički prostor postaje topološki ako se otvoreni skup definira kao skup koji zajedno sa svakom svojom točkom sadrži i neku kuglu oko te točke (tj. skup svih točaka kojima je udaljenost do točke t manja od zadanoga broja r > 0). Podskup S topološkoga prostora naziva se zatvorenim ako mu je komplement T\S otvoreni skup. Elementi topološkoga prostora T nazivaju se točke. Okolina točke t svaki je podskup S od T koji sadrži neki otvoreni skup U u kojem je točka t. Posebno, svaki je otvoreni skup okolina svake svoje točke. Skup svih točaka kojima je S okolina označava se IntS i naziva se nutrina ili interior skupa S. To je najveći otvoreni skup sadržan u S. Najmanji zatvoreni skup koji sadrži S naziva se zatvorenjem skupa S i označava  ili ClS (od engl. closure = zatvorenje). Razlika S\IntS zatvorenja i nutrine zove se rub skupa S i označava sa ∂S. S se naziva povezanim ako ne postoje disjunktni otvoreni skupovi U i V takvi da su presjeci S ∩ V i S ∩ N neprazni i takvi da je S sadržan u uniji U ∪ V. Ako su T₁ i T₂ topološki prostori i f: T₁ → T₂ funkcija, f se naziva neprekidnom u točki t prostora T₁ ako je f^–1 (V) okolina točke t za svaku okolinu V točke f (t) prostora T₂; pritom je f^–1 (V) oznaka za skup svih točaka s prostora T₁ takvih da se točka f (s) nalazi u skupu V. Funkcija f je neprekidna (na T₁) ako je neprekidna u svakoj točki od T₁. Važno je svojstvo neprekidne funkcije f da je skup f (s) povezan ako je S povezan skup u prostoru T₁. Za niz (t_n) točaka topološkoga prostora T kaže se da konvergira ili teži k točki t₀, i piše se: , ako svaka okolina V točke t₀ sadrži sve točke t_n zadanoga niza osim njih konačno mnogo. Točka t₀ naziva se limes ili granica niza (t_n). Niz koji ima limes zove se konvergentan. Ako je (t_n) konvergentan niz u topološkom prostoru T₁ i i ako je f: T₁ → T₂ funkcija neprekidna u točki t₀, onda je niz (f (t_n)) konvergentan u topološkom prostoru T₂ i .