afina diferencijalna geometrija

afina diferencijalna geometrija (lat. affinis: srodan), dio diferencijalne geometrije koji proučava diferencijalno-geometrijska svojstva krivulja i ploha koja ostaju sačuvana pri transformacijama afinih grupa ili podgrupa tj. invarijantnost diferencijalnih invarijanti.

Tako npr. u ekviafinoj ravnini dva vektora a i b imaju invarijantu (a, b), tj. stalnu ploštinu paralelograma koji tvore. Odatle se može pokazati da za svaku krivulju γ = γ (t) različitu od pravca, koja leži u toj ravnini, postoji invarijantni parametar:

$$s={\int }_{t_0}^t|\dot{\gamma },\ddot{\gamma }{|}^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}t,$$

koji se naziva ekviafinim lukom.

Diferencijalna invarijanta:

$$k=(\frac{{\mathrm{d}}^2\gamma }{\mathrm{d}{s}^2},\frac{{\mathrm{d}}^2\gamma }{\mathrm{d}{s}^2})$$

naziva se ekviafinom zakrivljenošću.

U ekviafinom prostoru svakoj se trojci vektora a, b, c može pridružiti invarijanta (a, b, c), tj. volumen orijentiranoga paralelepipeda određenog tim vektorima. Tada je ekviafini luk (s) krivulje γ = γ (t) u trodimenzijskom prostoru:

$$s={\int }_{t_0}^t|\dot{\gamma },\ddot{\gamma },\stackrel{⃛}{\gamma }{|}^{\frac{1}{6}}\mathrm{d}t.$$ (→ erlangenski program)