funkcija

funkcija (lat. functio: obavljanje; obnašanje).

1. Djelovanje, djelatnost, radnja, posao, služba, zadatak, dužnost, uloga, položaj, zvanje. – Funkcionirati, raditi, odvijati se, teći, ići, biti u pogonu.

2. U matematici, pridruživanje elemenata iz jednoga skupa elementima iz drugoga skupa pri kojem je svakomu elementu prvoga skupa pridružen jedinstveni element drugoga skupa. U razvoju matematike značenje i shvaćanje pojma funkcije mijenjalo se prema sve općenitijemu i apstraktnijemu. Danas se definira u okvirima teorije skupova.

Vrijednost funkcije f (x) na elementu x ili u točki x svako je pridruživanje elementima skupa A elemenata skupa B ako su A i B dva skupa, funkcija f sa skupa A u skup B (simbolički f : A → B), odnosno svaki propis prema kojemu je svakom elementu x skupa A pridružen jedan element f (x) skupa B.

Domena (područje definicije) funkcije f je skup A, a kodomena (područje vrijednosti) funkcije f je skup svih vrijednosti f (x), koji je podskup skupa B. Elementi skupa A nazivaju se varijable funkcije f.

Strogo rastuća funkcija za veći argument daje veću vrijednost, a za manji argument manju vrijednost (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ A), dok strogo padajuća funkcija za veći argument daje manju vrijednost, a za manji argument veću vrijednost (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ A).

Stacionarne točke funkcije točke su u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli (tj. tangenta paralelna s x-osi), a nazivaju se horizontalna infleksija i ekstremi funkcije (minimum i maksimum).

Konveksna funkcija na otvorenom intervalu funkcija je kojoj prva derivaciju u tom intervalu raste (tj. raste kut što ga tangenta zatvara s pozitivnim dijelom osi x) a druga derivacija veća je od nule. Konkavna funkcija na otvorenom intervalu funkcija je kojoj prva derivacija u tom intervalu opada (tj. smanjuje se kut što ga tangenta zatvara s pozitivnim dijelom osi x) a druga derivacija manja je od nule.

Omeđena (ograničena) funkcija jest funkcija kojoj je skup vrijednosti omeđeni skup. Neomeđena (neograničena) funkcija jest funkcija kojoj je skup vrijednosti neomeđeni skup.

Prirast funkcije (Δf) je razlika između dviju vrijednosti funkcije kad su argumenti x₂ i x₁: Δf (x) = f (x₂) − f (x₁).

Injekcija je funkcija f : A → B koja na različitim elementima domene poprima različite vrijednosti kodomene, tj. pri kojoj iz a₁ ≠ a₂ (a₁, a₂ iz A) proizlazi f (a₁) ≠ f (a₂).

Surjekcija je funkcija f pri kojoj je svakom elementu kodomene pridružen barem jedan element domene, a područje vrijednosti je cijeli skup B, tj. pri kojoj za svaki element b iz B postoji neki element a u A takav da je f (a) = b.

Bijekcija je funkcija f koja je i surjekcija i injekcija.

Identična funkcija je funkcija koja svaki element nekog skupa šalje u samoga sebe.

Parna funkcija je funkcija f jedne varijable koja ima svojstvo f (x) = f (–x) za sve x; simetrična je s obzirom na y os Kartezijeva dvodimenzionalnoga koordinatnoga sustava.

Neparna funkcija je funkcija f jedne varijable koja ima svojstvo –f (x) = f (–x) za sve x; simetrična je na zakretanje za kut od 180° oko ishodišta Kartezijeva dvodimenzionalnoga koordinatnoga sustava.

Periodična funkcija je funkcija kojoj se vrijednost ponavlja u određenim intervalima.

Kompozicija funkcija (složena funkcija) je operacija koja dvjema funkcijama npr. f i g, uz određeni uvjet, pridružuje treću funkciju tako da se na rezultat djelovanja prve primijeni druga tj. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = h(x).

Inverzna funkcija f ^–1 : B → A komponirana s danom funkcijom f : A → B daje identičnu funkciju. Može se definirati za bijekciju f : A → B na ovaj način: za proizvoljan element b iz B postoji element a u A takav da je f (a) = b (jer je f surjekcija) i taj a je time jedinstveno određen (jer je f injekcija); dakle f ^–1(b) = a. Drugim riječima, uzastopna primjena funkcije f i zatim njezine inverzne funkcije f ^–1 preslikava svaku točku iz A u samu sebe: f ^–1[ f (a)] = a. Slično je i f [ f ^–1(b)] = b za sve točke b iz B; dakle, f je inverzna funkcija funkcije f ^–1. Graf inverzne funkcije f^–1 funkcije f dobiva se iz grafa te funkcije s obzirom na simetralu prvoga i trećega kvadranta, tj. s obzirom na pravac y = x.

Funkcija više varijabla vezana je uz Kartezijev produkt. Npr. funkcija dviju varijabla jest funkcija f : X × Y → Z; njezina vrijednost u točki (x, y), (x iz X, y iz Y), označuje se s f (x, y).

Funkcija realne varijable je funkcija kojoj je argument realna varijabla, a funkcija kompleksne varijable je funkcija kojoj je argument kompleksna varijabla.

U klasičnoj matematici pod nazivom funkcije podrazumijevale su se samo funkcije jedne ili više realnih ili kompleksnih varijabla s realnim ili kompleksnim vrijednostima. Nadalje, funkcije jedne realne varijable često su se identificirale s njihovim grafičkim prikazima.

Najjednostavnije ovisnosti funkcije jedne varijable

(→ abelova funkcija; algebarska funkcija; analitička funkcija; besselove funkcije; biharmonična funkcija; delta-funkcija; eksplicitne funkcije; eksponencijalna funkcija; elementarne funkcije; eliptične funkcije; funkcije kompleksne varijable; graf funkcije; harmonička funkcija; implicitne funkcije; logaritamska funkcija; neelementarne funkcije; neprekidna funkcija; primitivna funkcija; simetrične funkcije; transcendentne funkcije; trigonometrijske funkcije; valna funkcija; vektorska funkcija; višeznačne funkcije).

3. U logici, funkcija označava u najopćenitijem smislu međusobnu ovisnost dviju promjenljivih veličina (G. W. Leibniz, H. Cohen), i to najprije na matematičkoj razini. U filozofijskom smislu, funkcija se kod I. Kanta pojavljuje kao »funkcija razuma«, koja nije ništa drugo do »jedinstvo radnje podređivanja različitih predodžbi pod jednu zajedničku«, dakle u svim pojmovima, sudovima, zaključcima i idejama, čime se pokazuje da se i najkonkretniji bitak treba razumjeti samo kao funkcija, stavak ili proizvod mišljenja ili kao »bitak odnosa« (P. Natorp). Kod E. Cassirera funkcija postaje temeljnim pojmom logike nasuprot pojmu klase i supstancije. U pogledu strukture simboličkih oblika, Cassirer razlikuje funkciju izraza, prikaza i značenja, koje u tako naznačenu (fenomenologijskom) slijedu označuju razdoblja pov>ijesnoga samoozbiljenja duha u jeziku, mitu, umjetnosti i znanosti.

4. U lingvistici: a) uloga što je neka jedinica (fonem, monem/morfem, riječ, sintagma…) ima u gramatičkoj strukturi izričaja; b) slično kao u matematici, funkcijom se zove svaki odnos (relacija) između dviju jedinica, odnosno funktiva (funkcija interdependencije, kada su oba funktiva stalna, funkcija determinacije, kada je jedan stalan, a drugi promjenljiv, funkcija konstelacije, kada su oba promjenljiva); c) u generativnoj gramatici, funkcija je gramatički odnos što ga elementi neke strukture (njezine kategorije) unutar te strukture održavaju među sobom; d) funkcije jezika, u naučavanju Praške škole, različite svrhe radi kojih se proizvode izričaji. Polazeći od teza Praške škole, psiholog K. Bühler (Organonmodell) izdvojio je tri funkcije jezika. Ovisno o pošiljatelju, primaocu, kontekstu na koji upućuje poruka, te kodu, fizičkom kanalu i psihološkoj vezi između pošiljatelja i primaoca), Jakobson razlikuje referencijalnu (kognitivnu, denotativnu) funkciju ili kognitivnu ili denotativnu (poruka je usredotočena na kontekst) kao najvažniju, emotivnu funkciju (poruka je usredotočena na govornika), konativnu funkciju (na primaoca, sugovornika), fatičku funkciju (na kanal i psihičku vezu), metalingvističku funkciju (na kod), poetičku funkciju (na poruku kao takvu), a svakoj jezičnoj funkciji u govoru svojstvena su njezina posebna obilježja, ali među funkcijama ima i mnogobrojnih interferencija. A. Martinet drži da je osnovna funkcija jezika komunikacijska, a druge su funkcije (funkcija izražavanja, estetska funkcija, funkcija oslonca mislima) izvedene i sekundarne.