Besselove funkcije [bε'səl~] (po Friedrichu Wilhelmu Besselu), funkcije koje se pojavljuju kao rješenja Besselove jednadžbe, tj. linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda oblika x² y′′ + xy′ + (x² – α²) y = 0. Razlikuju se prema svojstvima u točki x = 0.
Besselove funkcije prve vrste (znak Jα(x)) pojavljuju se kad su rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe, za x = 0 i za nenegativne cjelobrojne vrijednosti α, konačna (regularna):
\[\displaystyle J_\alpha(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac x 2\right)^{2m+\alpha},\]
gdje je m cijeli broj a Γ gama-funkcija.
Besselove funkcije druge vrste (znak Yα(x) ili Nα(x)) pojavljuju se kad su rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe, za x = 0 i za nenegativne cjelobrojne vrijednosti α, beskonačna:
\[Y_\alpha(x)=\frac{J_\alpha(x){\rm cos(\alpha\pi)}-J_{-\alpha}(x)}{{\rm sin}(\alpha\pi)}.\]
Krivulje Besselovih funkcija nalikuju sinusoidama kojima opada amplituda. Primjenjuju se u fizici za opisivanje dvodimenzijskog titranja kružne membrane, ogiba svjetlosti na kružnoj pukotini i dr.
