trigonometrija

trigonometrija (grč. τρίγωνoς: trokutni + -metrija), dio geometrije u kojem se proučava zavisnost između stranica i kutova trokuta. Ta je zavisnost izražena s pomoću trigonometrijskih funkcija nizom trigonometrijskih identiteta i teorema, među kojima su najvažniji: Pitagorin poučak, sinusni poučak, kosinusni poučak, tangensni poučak i Mollweideove formule.

Jedan je od osnovnih zadataka trigonometrije rješavanje trokuta, tj. zadatak da se iz triju zadanih elemenata trokuta, s pomoću navedenih formula, odrede ostali, nepoznati elementi. Mnogobrojne su primjene trigonometrije, kako u matematici tako i u nizu drugih znanosti i djelatnosti, npr. u geodeziji pri premjeru zemljišta triangulacijom. Može se podijeliti na ravninsku tigonometriju i sfernu trigonometriju. Primjenjuje se za izračunavanje udaljenosti s pomoću mjerenja kutova u izmjerama zemljišta, astronomiji, vojništvu i dr.

Povijesni razvoj

Hipokrat iz Hija proučavao je povezanost između kuta s vrhom u središtu kružnice i duljine tetive luka. Hiparh iz Nikeje izradio je tablicu kutova s vrhom u središtu kružnice i duljina tetiva, preteču trigonometrijskih tablica. Klaudije Ptolemej u djelu Almagest dao je tablicu tetiva lukova za kutove između 1/2° i 180° u koracima po pola stupnja. Menelaj iz Aleksandrije u djelu Sferika razvio je teoriju sfernih trokuta. U srednjem vijeku ravninsku trigonometriju razvijali su al-Battani, Biruni, Madhava, Nasiruddin Tusi i dr. Za europski doprinos razvoju trigonometrije osobito su važni Regiomontanus, Abraham de Moivre, Karl Brandan Mollweide i Leonhard Euler, koji joj je dao suvremeni oblik.

Trigonometrijski teoremi

Poučak o duljini stranice trokuta (projekcijska formula) tvrdi da se duljina stranice trokuta a, b ili c može izraziti s pomoću duljina drugih dviju stranica i kosinusa kutova α, β ili γ koji se nalaze nasuprot tim dvjema stranicama, tj. duljina bilo koje stranice trokuta jednaka je algebarskom zbroju projekcija drugih stranica na nju:

a = b cos γ + c cos β,

b = c cos α + a cos γ,

c = a cos β + b cos α.

Poučak o određivanju kutova trokuta kad su poznate duljine svih triju stranica tvrdi da se vrijednosti kutova trokuta mogu odrediti s pomoću duljina stranica i funkcija sinus, kosinus ili tangens:

$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}},$$

$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},$$

$$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}.$$

Poučak o duljini polumjera trokutu upisane kružnice tvrdi da se duljina polumjera trokutu upisane kružnice može odrediti s pomoću funkcije tangens kada su poznate duljine svih stranica i vrijednosti svih kutova:

r = (s – a) tan α/2 = (s – b) tan β/2 = (s – c) tan γ/2,

gdje je s = (a + b + c)/2 duljina poluopsega trokuta.