trokut, višekut s trima stranicama. Trokut ΔABC s vrhovima u točkama A, B, C (točke ravnine ili sfere koje nisu na jednome pravcu ili na jednoj kružnici) najmanji je konveksni podskup ravnine ili sfere koji sadržava te točke. Ravninski trokut izgrađen je od triju dužina u ravnini, a sferni trokut od lukova triju glavnih kružnica sfere. Odnose između stranica i kutova ravninskoga trokuta proučava trigonometrija, a sferne trokute istražuje sferna trigonometrija.
Vrste trokuta
Jednakostranični trokut čine stranice jednakih duljina. Jednakokračni trokut čine dvije stranice jednakih duljina i jedna različita. Stranice jednakih duljina nazivaju se krakovi, a različita stranica naziva se osnovica trokuta. Kutovi uz osnovicu jednakokračnoga trokuta su jednaki. Raznostranični trokut čine stranice međusobno različitih duljina. Kut nasuprot većoj od dviju stranica trokuta veći je od kuta nasuprot manjoj od tih dviju stranica. Oštrokutni trokut ima tri oštra kuta. Pravokutni trokut ima jedan pravi i dva oštra kuta. U pravokutnom se trokutu stranica nasuprot pravomu kutu naziva hipotenuza, a ostale su dvije stranice katete. Tupokutni trokut ima jedan tupi kut.
Osnovni elementi trokuta
Stranica je dužina koja spaja dva susjedna vrha, vrh je točka u kojoj se sastaju dvije stranice, unutarnji kut je dio ravnine omeđen dvjema susjednim stranicama, vanjski kut je dio ravnine omeđen stranicom i produžetkom susjedne stranice.
Težišnica trokuta spojnica je vrha s polovištem nasuprotne stranice trokuta. Trokut ima tri težišnice.
Težište trokuta je točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1, mjereći od vrha trokuta. Svaka težišnica dijeli trokut na dva trokuta jednakih ploština, a tri težišnice dijele trokut na šest trokuta jednakih ploština.
Visina trokuta udaljenost je jednoga vrha od pravca nasuprotne stranice trokuta. Trokut ima tri visine.
Ortocentar trokuta je točka u kojoj se sijeku pravci visina trokuta.
Trokutu upisana kružnica je kružnica što su joj tangente stranice trokuta.
Trokutu opisana kružnica je kružnica što prolazi vrhovima trokuta.
Trokutu pripisana kružnica je kružnica što dodiruje jednu stranicu trokuta s njegove vanjske strane i produžetke drugih dviju stranica.
Simetrala kuta trokuta pravac je koji prolazi vrhom kuta trokuta i dijeli ga na dva sukladna kuta. Pod duljinom simetrale unutarnjega kuta razumijeva se duljina odreska te simetrale unutar trokuta. Trokut ima tri simetrale unutarnjih kutova. Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki, koja je središte trokutu upisane kružnice. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjega kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u jednoj točki, koja je središte trokutu pripisane kružnice.
Simetrala stranice trokuta pravac je koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na tu stranicu. Trokut ima tri simetrale stranica. Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki, koja je središte trokutu opisane kružnice.
Vanjski kut trokuta sukut je unutarnjega kuta trokuta, imaju zajednički vrh i jedan zajednički krak, a drugi im krakovi leže na istom pravcu. Mjera vanjskoga kuta trokuta jednaka je zbroju mjera dvaju unutarnjih kutova koji s tim kutom nemaju zajednički vrh.
Srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta, paralelna je s trećom stranicom i njezina je duljina dvostruko kraća od duljine treće stranice. Trokut ima tri srednjice. Srednjice dijele trokut na četiri međusobno sukladna trokuta kojima su duljine stranice dvostruko kraće od duljina stranica tog trokuta.
Eulerov pravac je pravac na kojem leže tri središta trokuta: težište, središte opisane kružnice i ortocentar. Određen je jednoznačno za svaki trokut osim jednakostraničnoga.
Osnovna svojstva trokuta
Neka su od osnovnih svojstava trokuta: a) zbroj unutarnjih kutova u trokutu iznosi π radijana (180°), a zbroj vanjskih kutova u trokutu iznosi 2π radijana (360°); b) nejednakost trokuta, tj. zbroj duljina dviju stranica veći je, a razlika manja, od duljine treće stranice: a + b > c, b + c > a, a + c > b i a − b < c, b − c < a i a − c < b; c) nasuprot većemu od dvaju kutova leži veća od dviju stranica; d) svakomu se trokutu mogu upisati i opisati po jedna kružnica i pripisati tri kružnice; e) opseg trokuta jednak je zbroju duljina njegovih stranica: O = a + b + c; f) ploština trokuta je: P = a va/2, gdje je a duljina jedne stranice, a va okomita udaljenost od pravca na kojem ta stranica leži do vrha nasuprot toj stranici (visina); g) Heronova formula za ploštinu trokuta je: P = √ s (s − a) (s − b) (s − c) , gdje je s = 1/2 (a + b + c) poluopseg trokuta; h) ploština trokuta je: P = abc/4R, gdje je R polumjer trokutu opisane kružnice.
Dva su trokuta slična (∆ABC ∼ ∆A′B′C′): a) ako se podudaraju u dvama kutovima; b) ako su im po dvije stranice razmjerne, a kutovi što ih određuju te stranice međusobno jednaki; c) ako su im po dvije stranice razmjerne, a kutovi nasuprot većoj od tih stranica međusobno jednaki; d) ako su im sve tri stranice (u parovima) razmjerne.
Dva su trokuta sukladna (∆ABC ≅ ∆A′B′C′): a) ako se podudaraju u jednoj stranici i dvama kutovima uz tu stranicu; b) ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu što ga određuju te stranice; c) ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu nasuprot većoj od tih stranica; d) ako se podudaraju u svim trima stranicama.
