algebra (srednjovj. lat. algebra < arap. al-ğabr: [ponovno] uspostavljanje [razlomljenih dijelova]), grana matematike koja se bavi općim svojstvima brojeva i generalizacijama što iz njih proizlaze. Naziv potječe od naslova djela Kitāb al-ğabr wa’l-muqābalat (Knjiga o uspostavljanju i suprotstavljanju) al-Hvarizmija (prva polovica IX. st.). U algebri, slovima se označuju brojevi i opisuju njihova svojstva. Primjerice, algebarski izraz (a + b)² = a² + 2ab + b² vrijedi ako su a i b bilo koja dva broja.
Skup A naziva se algebra (nad poljem K) ako je A vektorski prostor nad poljem K i ako je uz to definirana operacija množenja koja svakom paru elemenata a, b iz vektorskog prostora A pridružuje jedan element također iz vektorskog prostora A, što se obično označuje s a · b, a naziva se umnožak a i b, i to tako da su ispunjeni sljedeći aksiomi:
(a) a · (b + c) = a · b + a · c i (a + b) · c = a · c + b · c za svaka tri elementa a, b, c iz vektorskog prostora A;
(b) α (a · b) = (α a) b = a (α b), za svaka dva elementa a, b iz A i svaki element α iz polja K.
Algebra se naziva asocijativnom, komutativnom ili alternativnom prema tome je li joj, uz aksiome (a) i (b), množenje asocijativno, komutativno ili alternativno. Važan je primjer asocijativne algebre skup svih kvadratnih matrica s uobičajenim zbrajanjem i množenjem matrica i množenjem matrica s brojem. Ako je uz aksiome (a) i (b) množenje antikomutativno (a · b = –b · a) i pritom je još i zadovoljen Jacobijev identitet:
(c) a · (b · c) + b · (c · a) + c · (a · b) = 0, onda se algebra naziva Liejevom algebrom (prema Sophusu Lieu). U njoj se umnožak, umjesto s a · b, obično označuje s [a,b]. Primjer Liejeve algebre tvore kvadratne matrice n-tog reda, s uobičajenim zbrajanjem i s [B,C] = B · C – C · B. Drugi primjer čine vektori trodimenzijskoga prostora s vektorskim umnoškom kao operacijom množenja.
Grane su algebre: algebarska algebra, algebarska geometrija, algebarska teorija brojeva, Booleova algebra, linearna algebra.
Povijest
Početci algebre javljaju se već kod Diofanta iz Aleksandrije, koji je uveo prve kratice, preteče današnjih simbola, za označivanje nepoznatih veličina, razlomaka, stupnjeva i dr., a to je značilo znatan napredak u usporedbi s matematičarima prije njega, koji su algebarske probleme rješavali geometrijski. U XVI. st. François Viète uvodi slova kao simbole za opće brojeve i nepoznate veličine. On je pokazao da se takvi simboli mogu podvrgnuti svim računskim operacijama koje su se do tada obavljale nad brojevima. Ti su simboli omogućili da se lakše rješavaju zamršeniji matematički problemi i jednostavnije izražavaju složeni matematički pojmovi. – Niža algebra proučava operacije s općim brojevima (slovima) i jednadžbe prvog i drugog stupnja. Viša algebra bavi se općenito proučavanjem algebarskih jednadžbi, istražuje njihova svojstva i pronalazi metode za njihovo rješavanje. Iznimno je važan fundamentalni teorem algebre (dokazao ga je Carl Friedrich Gauss, 1799) da svaka algebarska jednadžba s koeficijentima koji su kompleksni brojevi ima barem jedno rješenje u području kompleksnih brojeva. Rješavanje jednadžbi prvoga i drugog stupnja poznavali su već starogrčki matematičari; formule za rješavanje jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja nađene su u XVI. st. (Geronimo Cardano, Nicolò Fontana Tartaglia i dr.). U XVII. i XVIII. st. algebra pokriva područje rješavanja jednadžbi s općim brojevima, za razliku od aritmetike koja pokriva računanje s pravim brojevima. U XVIII. i XIX. st. algebra općenito postaje metodom računanja s polinomima. U XIX. st. Niels Henrik Abel dokazao je nemogućnost rješavanja opće jednadžbe petog i višeg stupnja s pomoću algebarske formule. Opću teoriju rješivosti algebarskih jednadžbi višega stupnja razradio je Évariste Galois, koji je njome postavio temelje teoriji grupa. Oko sredine XIX. st. težište algebarskih istraživanja postupno se premješta s teorije jednadžbi na proučavanje općih algebarskih operacija i algebarskih struktura. (→ algebra skupova; algebarska krivulja; algebarska funkcija; algebarska nezavisnost)
