zakrivljenost, u matematici, zakrivljenost krivulje odnosno plohe, mjera njihova odstupanja od pravca odnosno ravnine u nekoj točki krivulje ili plohe. Mjerna jedinica zakrivljenosti jest recipročni metar (m–1). U diferencijalnoj geometriji uvode se dvije vrste zakrivljenosti krivulje: fleksija i torzija.
Fleksija krivulje (znak κ) u nekoj njezinoj točki definira se kao \(\displaystyle\kappa=\lim_{\Delta s\rightarrow0}\cfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\;\), gdje je Δα kut koji zatvaraju tangente krivulje u njezinim dovoljno bliskim točkama, a Δs duljina luka između dirališta tih tangenata. Primjerice, fleksija pravca jednaka je nuli (κ = 0), a fleksija kružnice obrnuto je razmjerna polumjeru (κ = 1/R).
Polumjer zakrivljenosti krivulje u nekoj točki jest polumjer ρ oskulacijske kružnice koja dodiruje krivulju u toj točki i obrnuto je razmjeran fleksiji: ρ = 1/κ. Središte zakrivljenosti krivulje u nekoj točki jest središte oskulacijske kružnice koja dodiruje krivulju u toj točki.
Za krivulju zadanu vektorski r = r (s) fleksija je iznos druge derivacije vektora položaja po duljini luka: \(\displaystyle\kappa=\left|\cfrac{{\rm d}^2r}{{\rm d}s^2}\right|.\;\) Polumjer zakrivljenosti krivulje u nekoj točki s pomoću oskulacijske kružnice u toj točki prvi je 1686. definirao Gottfried Wilhelm Leibniz. Infleksija je promjena fleksije iz pozitivne u negativnu ili obrnuto.
Torzija prostorne krivulje (znak τ) opisuje koliko se krivulja uvija iz ravnine; kad je jednaka nuli (za τ = 0), krivulja je ravninska. U nekoj točki krivulje definira se kao: τ = –N · (dB/ds), gdje je N normalni jedinični vektor, B binormalni jedinični vektor okomit na normalu i tangentu: B = T × N, T tangentni jedinični vektor, a ds duljina luka. Za krivulju zadanu parametarskom jednadžbom r = r (s) vrijedi: \(\displaystyle \tau=\cfrac{(r'\times r'')r'''}{||r'\times r''||^2}\;\).
Polumjer torzije krivulje u nekoj točki obrnuto je razmjeran torziji: σ = 1/τ.
Zakrivljenost plohe u nekoj njezinoj točki T svodi se na zakrivljenosti njezinih normalnih presjeka u toj točki, tj. presjeka te plohe u točki T. Među normalnim presjecima u točki T postoje dva s ekstremnim zakrivljenostima, maksimalnom k1 i minimalnom k2, a ravnine tih presjeka međusobno su okomite.
Srednja zakrivljenost plohe: H = 2 (k1 + k2)/2 i Gaussova zakrivljenost plohe: K = k1k2, definirane su s pomoću minimalne i maksimalne zakrivljenosti plohe. Ako je zbroj kutova unutar trokuta koji leži na nekoj zakrivljenoj plohi veći od 180°, Gaussova zakrivljenost je pozitivna, a ako je manji od 180°, Gaussova zakrivljenost je negativna. Npr. Gaussova zakrivljenost hiperboloida je negativna (K < 0), ravnine jednaka nuli (K = 0), sfere pozitivna (K > 0, tj. K = 1/R), a kod torusa ovisi o dijelu plohe na kojem se promatra. Carl Friedrich Gauss (1827) dokazao je da je Gaussova zakrivljenost invarijantna pri svim izometričkim transformacijama plohe (tzv. theorema egregium). Na tom se temelji cjelokupna unutarnja geometrija neke plohe.
