TRAŽI DALJE:
STRUKE:

integral

integral (prema kasnolat. integralis: sastavni, cjelovit, od klas. lat. integer: netaknut, čitav) (znak ∫), funkcija ili veličina koja je ili rješenje diferencijalne jednadžbe ili limes zbroja vrijednosti neke funkcije. Znak integrala potječe od Gottfrieda Wilhelma Leibniza i predstavlja izduženo slovo S (početno slovo od suma, zbroj). U integralnom računu naziv integral uključuje dva bitno različita pojma, određeni integral (limes zbroja infinitezimalno malih dijelova ploštine koji daje ukupnu ploštinu ispod krivulje zadane funkcije, u rasponu između donje i gornje granice) i neodređeni integral (integral kojemu rješenje nije jednoznačno, nego mu se može pribrojiti konstanta bilo koje vrijednosti).

Određeni integrali

Jednostruki integral je određeni integral jedne varijable po jednodimenzijskome području integriranja. Newton-Leibnizova formula izražava tvrdnju da je jednostruki integral funkcije na zatvorenome intervalu jednak razlici vrijednosti njezine primitivne funkcije u krajnjim točkama intervala:

integral 1.jpg,

gdje je f' neprekidna realna funkcija definirana i integrabilna na zatvorenom intervalu [a, b] skupa realnih brojeva i f neprekidna funkcija koja je primitivna funkcija funkcije f' na otvorenome intervalu x ∈ (a, b).

Dvostruki integral je određeni integral dviju varijabla po dvodimenzijskome području integriranja. Određuje se uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala s pomoću Newton-Leibnizove formule. Može se primijeniti za određivanje ploštine i volumena tijela omeđenoga zadanim plohama. Rezultat ne ovisi o redoslijedu integriranja. Primjerice, ako je područje integracije D zadano dvama neprekidnim funkcijama D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ h (x)}, tada je dvostruki integral:

integral 2.jpg,

Trostruki integral je određeni integral triju varijabla po trodimenzijskome području integriranja a može se primijeniti za određivanje volumena tijela omeđenoga zadanim plohama. Rezultat ne ovisi o redoslijedu integriranja. Ako je područje integracije D zadano trima neprekidnim funkcijama D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, h1 (x) ≤ y ≤ h2 (x), g1 (x, y) ≤ z ≤ g2 (x, y)}, tada je trostruki integral:

integral 3.jpg,

gdje je dV = dxdydz element volumena.

Tablica osnovnih neodređenih integrala

∫dx = x + C

xn dx = (xn+1 / (n + 1)) + C (za n ≠ –1)

∫dx / x = ln |x| + C

∫ex dx = ex + C

ax dx = (ax / ln a) + C (za a > 0, a ≠ 1)

∫cos x dx = sin x + C

∫sin x dx = – cos x + C

∫dx / cos²x = tan x + C

∫dx / sin²x = – cot x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫sinh x dx = cosh x + C

∫dx / cosh²x = tanh x + C

∫dx / sinh²x = – coth x + C

∫dx /  a² – x²  = arcsin (x / a) + C (za a > 0)

∫dx / (a² + x²) = (1 / a) arctan (x / a) + C (za a > 0)

∫dx /  a² + x²  = ln (x +  a² + x² ) + C (za a > 0)

Citiranje:
integral. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 28. 10. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=27584>.