matrica

matrica (lat. matrix, genitiv matricis: matica).

1. U matematici, pravokutna tablica matričnih elemenata, brojeva ili matematičkih objekata, koja sažeto prikazuje informacije o matematičkim sustavima:

.

Horizontalni niz elemenata u matričnoj tablici naziva se redak, a uspravni stupac. Matrica je tipa (n, m) kad ima n redaka i m stupaca.

Vrste matrica

Redna matrica sadrži samo jedan redak (1, m), a stupčana matrica sadrži samo jedan stupac (n, 1). Na primjer: [1 2 3], .

Kvadratna matrica je matrica kojoj je broj redaka jednak broju stupaca, tj. n = m. Trag matrice je zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice, a determinanta je broj pridružen kvadratnoj matrici.

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli, tj. a_nm = 0 kad je n ≠ m, na primjer:

.

Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi ispod dijagonale jednaki nuli, tj. a_nm = 0 kad je n > m, na primjer:

.

Donja trokutasta matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi iznad dijagonale jednaki nuli, tj. a_nm = 0 kad je n < m, na primjer:

.

Jedinična matrica I kvadratna je matrica takva da je pomnožena s bilo kojom matricom odgovarajućega reda jednaka toj matrici, tj. IA = A, te također AI = A, a njezini su elementi a_mm = 1 za svaki m te a_nm = 0 za m ≠ n na primjer:

.

Inverzna matrica neke matrice A je matrica sa svojstvom AA^–1 = A^–1A = I. Matrice mogu imati samo jednu inverznu matricu, a neke matrice nemaju ni jednu.

Regularna matrica je kvadratna matrica koja ima inverznu matricu, a singularna matrica je kvadratna matrica koja nema inverznu matricu.

Osnovne operacije

Zbrajanje matrica moguće je samo ako matrice imaju jednak broj redaka i stupaca, a zbrajaju se elementi matrice koji se nalaze na istim položajima u tablici. Ako je A matrica tipa (n, m) s elementima a_nm, i ako je B matrica tipa (n, m) s elementima b_nm, zbroj matrica A i B jest matrica C = A + B s elementima c_nm = a_nm + b_nm.

.

Množenje matrice brojem izvodi se tako da se svaki element matrice pomnoži brojem. Ako je α broj, umnožak broja α i matrice A je matrica D = α A s elementima d_nm = α a_nm. Na primjer:

.

Množenje matrica moguće je samo ako matrica ima broj redaka jednak broju stupaca matrice kojom množi. Ako je A matrica tipa (n, m) i ako je B matrica tipa (m, p), njihov produkt C = AB matrica je tipa (n, p) s elementima c_nm = Σ a_nk b_km = a_n1 b_1m + a_n2 b_2m + … + a_nt b_tm. Na primjer:

.

Množenje matrica nije komutativno, AB ≠ BA. Dijeljenje matrica svodi se na množenje inverznom matricom.

Transponiranje matrice postiže se zamjenom njezinih redaka i stupaca. Ako je A matrica tipa (n, m) s elementima a_ij, njezina transponirana matrica A^⊤ ima elemente (A^⊤)_nm = a_mn, što se kod kvadratne matrice može interpretirati i kao zrcaljenje s obzirom na dijagonalu. Kvadratna matrica je simetrična ako vrijedi A = A^⊤, tj. a_nm = a_mn za sve n, m, a antisimetrična ako vrijedi A^⊤ = −A, tj. a_nm = −a_mn za sve n, m. Na primjer:

.

Primjena

Matrice su se sredinom XIX. st. počele primjenjivati za pojednostavljeno rješavanje sustava linearnih jednadžbi, danas se široko primjenjuju u klasičnoj mehanici, elektromagnetizmu, kvantnoj mehanici, teoriji vjerojatnosti, statistici, ekonomiji, elektrotehnici, kompjuterskom programiranju i dr. (→ vektorski prostor)

2. U strojarstvu, naziv za alat ili dio alata za deformacijsko oblikovanje metala postupcima istiskivanja (isprešavanja) šipaka, cijevi i profila, dubokog vučenja limenih proizvoda te provlačenja žice, šipkastih profila i cijevi. Matricom se naziva i alat oštrih ravnih bridova kojim se izrađuju predmeti od lima prosijecanjem, štancanjem ili finim štancanjem, a upotrebljava se u paru s patricom (žigom). (→ duboko vučenje; prosijecanje; provlačenje)

3. U tiskarstvu, mjedeni ili brončani kalup s utisnutim slovnim znakom, kakav se nekoć u slagarskim strojevima slagao u retke i potom služio za odlijevanje olovnoga sloga. (→ tiskarski slog)