determinanta (prema lat. determinans: koji određuje), odredbenica; u matematici, funkcija koja svakoj kvadratnoj matrici pridružuje broj (skalarnu vrijednost).
Determinanta matrice \(\pmb A=\left[\matrix {a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}}\right]\:\) je \(\left|\matrix {a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}}\right|\:\) ili det A ili |A|, gdje su aij elementi matrice i determinante pri čem prvi indeks i označava red, drugi indeks j stupac, a n je broj redaka i stupaca, tj. element aij nalazi se na presjeku i-tog retka i j-tog stupca. Broj se dobije se množenjem i zbrajanjem elemenata prema pravilu:
det A = ∑ ± a1p(1) a2p(2) … anp(n),
gdje su p(1), p(2),…, p(n), neka permutacije brojeva od 1 do n. Predznak umnoška određuje se prema broju inverzija u toj permutaciji: ako je broj inverzija paran, umnožak je pozitivan, a u protivnome negativan. Zbrajanje se proteže preko svih n! permutacija.
Povijesni razvoj
Determinante je izumio Gottfried Wilhelm Leibniz (1693) ispitujući rješenja sustava linearnih jednadžbi. Njegov je izum pao u zaborav, pa se dugo vremena izumiteljem determinanata smatrao Gabriel Cramer, koji je 1750. dao pravila rješavanja sustava jednadžbi s pomoću determinanata (Cramerovo pravilo). Pierre Simon de Laplace uveo je postupak za snižavanje reda determinante (Laplaceov razvoj). Naziv determinanta prvi je uporabio Carl Friedrich Gauss (1801), Augustin-Louis Cauchy dokazao je teorem množenja determinanti (1812), a tek se poslije radova Carla Gustava Jacobija determinante široko primjenjuju u matematici.
Svojstva determinante
Determinanta drugoga reda det A = \(\left|\matrix {a&b\cr c&d}\right|\) može se izračunati, tj. determinanti se može odrediti broj, kao det A = ad – bc.
Sarrusovo pravilo (po francuskom matematičaru Pierreu Frédéricu Sarrusu, 1798–1861) omogućuje jednostavno izračunavanje determinante trećega reda det B = \(\left|\matrix {a&b&c\cr d&e&f\cr g&h&k}\right|\) kao:
det B = aek + bfg + cdh – ceg – bdk – afh.
Laplaceov razvoj omogućuje izračunavanje determinante bilo kojega reda razvijanjem po bilo kojem retku ili stupcu (svaki razvoj daje isti rezultat). Primjerice, Laplaceov razvoj determinante trećega reda po prvome retku:
\({\rm det\,}\pmb B=\left|\matrix {a&b&c\cr d&e&f\cr g&h&k}\right|=a \left|\matrix {e&f\cr h&k}\right|-b \left|\matrix {d&f\cr g&k}\right|+c \left|\matrix {d&e\cr g&h}\right|=aek-afh-bdk+bfg+cdh-ceg.\)
Subdeterminanta (minora) nekog elementa aij zadane determinante dobije se kada se zadanoj determinanti precrtaju redak i stupac u kojem se nalazi element aij, tj. i-ti redak i j-ti stupac.
Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi nekog stupca ili retka jednaki nuli ili ako su dva retka ili dva stupca međusobno jednaka.
Determinanta mijenja predznak ako međusobno zamijene mjesta dva retka ili dva stupca.
Determinanta ne mijenja vrijednost ako joj se zamijene stupci s redcima, tj. det A = det AT, ili ako se elementima jednog retka (ili jednog stupca) pribroje pripadni elementi kojega drugog retka (ili stupca) pomnoženi bilo kojom konstantom.
Determinanta se množi brojem tako da se tim brojem pomnože svi elementi nekog retka ili stupca, a dijeli se brojem tako da se recipročnom vrijednošću tog broja pomnože svi elementi nekog retka ili stupca.
Determinanta produkta dviju matrica jednaka je produktu determinanti, tj. det (AB) = det A det B. Ako je matrica regularna, umnožak determinante matrice i njoj inverzne matrice jednak je determinanti jedinične matrice, tj. det (AA–1) = det A det A–1 = det I = 1.
