binomni poučak

binomni poučak, pravilo za izračunavanje potencije binoma, tj. izraza (a + b)ⁿ, u kojem je n prirodni broj:

$$(a+b{)}^n=a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}b+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})a^{n-2}{b}^2+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})a{b}^{n-1}+b^n,$$

pritom je $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ (čita se: n povrh k) binomni koeficijent tj. simbol za broj

$$\left(\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k}\right).$$

Isaac Newton je 1676. pokazao da se binomni poučak poopćuje i na slučaj kad je n bilo koji racionalan broj. U općem slučaju dobiva se beskonačan red potencija.

Npr. za n = 1/2 i |x| ≤ 1 vrijedi

$$(1\pm x{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1\pm x}=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{1})(\pm x)+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{2})(\pm x{)}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{3})(\pm x{)}^3+\dots =$$

$$=1\pm \frac{1}{2}x-\frac{1}{2\cdot 4}{x}^2\pm \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}{x}^3-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}{x}^4\pm \dots$$

Pascalov trokut je shema u čijem se n-tom retku nalaze binomni koeficijenti raspisa potencije (a + b)ⁿ.