binomni koeficijent

traži dalje ...

struka(e): matematika

binomni koeficijent (znak $(\binom{n}{k})$ , čita se: n povrh k), broj načina na koji se iz skupa od n elemenata može odabrati podskup od k elemenata, tj. pozitivni cijeli broj koji je jednak

$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},$

gdje je n prirodni broj, a k je nenegativni cijeli broj koji je jednak ili manji od n. Primjerice,

$(\binom{10}{7}) = \frac{10!}{7! (10 - 7)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = 120.$

Pojavljuje se kao koeficijent u binomnome poučku.

Svojstva binomnih koeficijenata

Svojstva binomnih koeficijenata: 1. postoji samo jedan podskup bez ijednog elementa i samo jedan podskup sadrži sve elemente

$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1,$

2. svojstvo simetrije

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}),$

3. Pascalova formula

$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},$

4. eksplicitna formula

$(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} \cdot \frac{n - 1}{k - 1} \cdot \dots \cdot \frac{n - k + 1}{1} = \frac{n (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1,)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!},$

5. zbroj binomnih koeficijenata

$(\binom{k}{k}) + (\binom{k + 1}{k}) + \dots + (\binom{n}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}),$

$(\binom{k}{0}) + (\binom{k + 1}{1}) + (\binom{k + 2}{2}) + \dots + (\binom{k + n}{n}) = (\binom{n + k + 1}{n}) .$

Citiranje:

binomni koeficijent. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025. Pristupljeno 4.4.2025. <https://enciklopedija.hr/clanak/binomni-koeficijent>.

binomni koeficijent

Svojstva binomnih koeficijenata

Unesite komentar