binomni koeficijent (znak \(\tbinom n k\), čita se: n povrh k), broj načina na koji se iz skupa od n elemenata može odabrati podskup od k elemenata, tj. pozitivni cijeli broj koji je jednak
\[\tbinom n k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},\]
gdje je n prirodni broj, a k je nenegativni cijeli broj koji je jednak ili manji od n. Primjerice,
\[\tbinom {10}7=\frac{10!}{7!\,(10-7)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot1\cdot2\cdot3}=120.\]
Pojavljuje se kao koeficijent u binomnome poučku.
Svojstva binomnih koeficijenata
Svojstva binomnih koeficijenata:
1. postoji samo jedan podskup bez ijednog elementa i samo jedan podskup sadrži sve elemente
\[\tbinom n 0=\tbinom n n=1,\]
2. svojstvo simetrije
\[\tbinom n k=\tbinom n {n-k},\]
3. Pascalova formula
\[\tbinom n k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},\]
4. eksplicitna formula
\[\tbinom nk=\frac nk\cdot\frac{n-1}{k-1}\cdot\,\cdots\,\cdot\frac{n-k+1}1=\frac{n(n-1)\cdot\,\cdots\,\cdot(n-k+1,)}{k!}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},\]
5. zbroj binomnih koeficijenata
\[\tbinom kk+\tbinom{k+1}k+\cdots+\tbinom nk=\tbinom{n+1}{k+1},\]
\[\tbinom k0+\tbinom{k+1}1+\tbinom{k+2}2+\cdots+\tbinom{k+n}n=\tbinom{n+k+1}n.\]
