struka(e): matematika
ilustracija
VIŠEKUT, nepravilni višekuti: 1. konveksni peterokut, 2. konkavni peterokut
ilustracija
VIŠEKUT, pravilni višekuti: 1. trokut, 2. kvadrat, 3. peterokut, 4. šesterokut, 5. sedmerokut, 6. osmerokut, 7. deveterokut i 8. deseterokut

višekut (poligon, mnogokut), zatvoreni geometrijski lik omeđen dužinama (stranicama). Zajedničke točke susjednih stranica vrhovi su višekuta. Broj vrhova jednak je broju stranica i broju kutova. Prema broju kutova razlikuju se trokuti, četverokuti, peterokuti, šesterokuti, sedmerokuti, osmerokuti, deseterokuti i općenito n-terokuti. Dijagonale višekuta dužine su koje spajaju njegova dva vrha koji ne pripadaju istoj stranici. Iz svakoga vrha n-terokuta izlazi n – 3 dijagonala; ukupan je broj svih dijagonala: N = n (n – 3)/2.

Konveksni višekut sadržava spojnice (dužine koje spajaju dvije točke) svih svojih točaka, konkavni višekut ne sadržava spojnice svih svojih točaka.

Pravilni višekut ima sve stranice i sve kutove jednake. Svakomu pravilnom višekutu može se upisati i opisati kružnica oko zajedničkoga središta. Polumjeri upisane r i opisane R kružnice pravilnoga višekuta povezani su s duljinom stranice: a² = 4 (R² – r²) i ploštinom: P = nar/2, gdje je n broj stranica.

Unutarnji kut nalazi se unutar višekuta a zatvaraju ga dvije susjedne stranice. Zbroj je unutarnjih kutova višekuta: φ = (n – 2) · 180°. Vanjski kut nalazi se izvan višekuta a zatvaraju ga stranica i produžetak susjedne stranice. Zbroj je vanjskih kutova konveksnoga višekuta 360°.

Karakteristični trokut pravilnoga višekuta je jednakokračni trokut kojemu je osnovica stranica višekuta, a krakovi su mu polumjeri višekutu opisane kružnice. Središnji kut višekuta ima vrh u središtu upisane ili opisane kružnice tj. nalazi se nasuprot osnovici karakterističnoga trokuta.

Zenodor je dokazao da među višekutima istoga opsega i istoga broja stranica pravilni višekut ima najveću ploštinu. Carl Friedrich Gauss dokazao je da se ravnalom i šestarom mogu konstruirati samo oni pravilni n-terokuti za koje je: n = 2k p1p2 … pr, gdje je k = 0, 1, 2, …, a pi su međusobno različiti prosti brojevi (Fermatovi brojevi) oblika: pi = 2s + 1, s = 2q, q = 0, 1, 2, …, od kojih je do danas poznato samo pet: 3, 5, 17, 257 i 65 537. Sljedeći broj po istom pravilu bio bi 232 + 1 = 4 294 967 296, ali to nije primbroj, kao što je dokazao Leonhard Euler 1732. Prema tomu n-terokuti za n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40 itd. mogu se konstruirati ravnalom i šestarom.

Citiranje:

višekut. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2024. Pristupljeno 26.5.2024. <https://enciklopedija.hr/clanak/visekut>.