algebarska jednadžba (polinomna jednadžba), jednadžba koja se dobiva izjednačavanjem dvaju algebarskih izraza.
Algebarska jednadžba jedne varijable (x) izjednačenje je dviju funkcija te varijable (F (x) = f (x)). Jednakost je zadovoljena samo pri nekim određenim vrijednostima te varijable. Varijabla (x) u jednadžbi naziva se nepoznanicom, a vrijednosti (x1, x2, …, xn), koje jednadžbu zadovoljavaju, rješenjima jednadžbe. Dvije su jednadžbe ekvivalentne ako imaju ista rješenja.
Opći oblik algebarske jednadžbe jedne varijable n-tog stupnja jest P(x) = 0, gdje je P(x) polinom, dakle:
anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0, gdje su ai koeficijenti jednadžbe, an ≠ 0 vodeći koeficijent, a a0 slobodni član. Broj x0 rješenje je algebarske jednadžbe ako je zadovoljena jednakost:
anx0n + an – 1x0n – 1 + … + a1x0 + a0 = 0.
Ovisno o stupnju, tj. najvećoj potenciji nepoznanice, algebarska jednadžba može biti linearna, npr. x + 1 = 0, kvadratna, npr. x² – x + 2 = 0, kubna npr. x³ + 2x² – x + 1 = 0, itd.
Usporedba algebarskih jednadžbi jedne varijable
| vrsta algebarske jednadžbe |
opći oblik |
stupanj |
broj realnih rješenja |
| linearna |
ax + b = 0 |
1 |
1 |
| kvadratna |
ax² + bx + c = 0 |
2 |
0–2 |
| kubna |
ax³ + bx² + cx + d = 0 |
3 |
1–3 |
| bikvadratna |
ax4 + bx² + c = 0 |
4 |
0, 2 ili 4 |
Opći oblik algebarske jednadžbe m varijabla jest P(x1, x2, …, xm) = 0. U algebarskoj jednadžbi n-toga stupnja m varijabla mogu se pojaviti članovi kojima je zbroj eksponenata varijabla do n. Primjerice, u općem obliku algebarske jednadžbe trećega stupnja dviju varijabla x i y pojavljuju se članovi kojima je zbroj eksponenata varijabla do tri: ax³ + by3 + cx²y + dxy² + exy + fx² + gy² + hx + iy + j = 0, gdje su a, b, c, …, j koeficijenti. Algebarska jednadžba drugog stupnja dviju varijabla opisuje kružnicu: x² + y² – r² = 0, algebarska jednadžba drugog stupnja triju varijabla opisuje sferu: x² + y² + z² – r² = 0, algebarska jednadžba četvrtog stupnja dviju varijabla opisuje lemniskatu: (x² + y²)² – 2e² (x² – y²) = 0, gdje je r polumjer kružnice i sfere, a e polovica udaljenosti između žarišta lemniskate.
Sustav algebarskih jednadžbi jest skup n jednadžbi ispravnih samo za određene skupine (x1, y1, … z1; x2, y2, …, z2; …) vrijednosti nepoznanica (x, y, …, z), a svaka takva skupina naziva se rješenjem sustava. Svaki sustav algebarskih jednadžbi može se pretvoriti u normalni oblik:
P1 (x, y, …) = 0
P2 (x, y, …) = 0
…
Pn (x, y, …) = 0,
gdje su Pi polinomi (i = 1, 2, …, n).
Sustav linearnih jednadžbi čini sustav algebarskih jednadžbi prvoga stupnja, a njegovim rješavanjem bavi se linearna algebra.
