aksiomatska teorija skupova, teorija skupova zasnovana na sustavu aksioma. Otkriće fundamentalnih paradoksa (→ antinomija) Bertranda Russella (1903) izazvalo je raspravu o potrebi korjenita preispitivanja načela matematičke logike.
Izgrađene su različite aksiomatske teorije skupova. Prvi aksiomatski sustav u teoriju skupova uveo je Ernst Zermelo 1908., a 1922. nadopunio ga je Adolf Abraham Fraenkel. Taj se sustav danas naziva Zermelo-Fraenkelov sustav.
Zermelo-Fraenkelovi aksiomi:
1) Aksiom rasprostranjenosti (ekstenzionalnosti): dva su skupa jednaka onda i samo onda ako imaju iste elemente.
2) Aksiom praznoga skupa: postoji skup koji nema ni jedan element.
3) Aksiom para: ako postoje skupovi A i B, tada postoji skup kojemu su jedini elementi skupovi A i B.
4) Aksiom unije: za svaki skup skupova S postoji skup A koji se sastoji od elemenata koji su elementi barem jednoga skupa iz S.
5) Aksiom partitivnog skupa: za svaki skup A postoji partitivni skup toga skupa, tj. skup kojemu su elementi svi podskupovi skupa A.
6) Aksiom beskonačnosti: postoji skup koji sadrži prazan skup i sljedbenika svakog svog elementa.
7) Aksiom razdvojivosti (separacije, specifikacije): iz svakoga skupa može se odvojiti podskup koji ima neko dano svojstvo.
8) Aksiom zamjene (supstitucije): ako je područje definicije neke funkcije skup, onda je i područje vrijednosti skup.
9) Aksiom regularnosti (dobre utemeljenosti): svaki neprazan skup ima prazan presjek s barem jednim svojim elementom.
10) Aksiom izbora: ako je A skup kojemu su elementi neprazni u parovima disjunktni skupovi, tada postoji skup B tako da je x ∩ A jednočlani skup za sve x ∈ A.
Formule Zermelo-Fraenkelove teorije grade se s pomoću varijabli, logičkih veznika i kvantifikatora, te jednoga dvomjesnog relacijskog simbola koji se označava s ∈.
