Besselove funkcije

Besselove funkcije [bε'səl~] (po Friedrichu Wilhelmu Besselu), funkcije koje se javljaju pri rješavanju Besselove jednadžbe, tj. linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda oblika x² y′′ + xy′ + (x² – α²) y = 0.

Ako su rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe za x = 0 i za nenegativne cjelobrojne vrijednosti α konačna, nazivaju se Besselove funkcije prve vrste (znak J_α(x)):

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha },}$$

gdje je m cijeli broj a Γ gama-funkcija.

Besselove funkcije druge vrste (znak Y_α(x) ili N_α(x)) pojavljuju se kad su rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe, za x = 0 i za nenegativne cjelobrojne vrijednosti α, beskonačna:

$$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\alpha \pi )}.$$

Krivulje Besselovih funkcija nalikuju sinusoidama kojima opada amplituda. Koriste se u fizici za opisivanje dvodimenzionalnog titranja kružne membrane, ogiba svjetlosti na kružnoj pukotini i dr.