neeuklidske geometrije, svi geometrijski sustavi koji se izborom aksioma razlikuju od euklidske geometrije (→ euklid; hilbert, david; geometrija). Neeuklidske geometrije su npr. projektivna, nearhimedska, nedezargovska i druge geometrije. Obično se ipak pod neeuklidskom podrazumijeva geometrija Lobačevskoga (ili hiperbolička geometrija), te sferna i eliptička geometrija, povijesno prve i najznačajnije geometrije toga tipa. Aksiomatske osnove geometrije Lobačevskoga razlikuju se od euklidske aksiomatike jedino po tom što je peti Euklidov postulat, aksiom o paralelama (koji glasi: ako su zadani pravac i točka izvan njega, tada postoji jedinstven pravac koji prolazi tom točkom i paralelan je zadanomu pravcu) zamijenjen drugim: zadanom točkom prolaze barem dva pravca ravnine koji ne sijeku zadani pravac te ravnine. Karakteristične su posljedice te pretpostavke: zadanom točkom dane ravnine prolazi beskonačno mnogo pravaca koji ne sijeku dani pravac u njoj; zbroj kutova trokuta manji je od dva prava kuta (razlika do dva prava kuta naziva se defektom toga trokuta); trokut je određen svojim kutovima pa zato ne postoje slični nesukladni trokuti; površina je trokuta razmjerna s njegovim defektom pa zato postoji trokut maksimalne površine; ekvidistanta nije pravac, nego krivulja drugoga reda, i dr. Geometrija Lobačevskoga otkrivena je kao rezultat uvjerenja da peti Euklidov postulat nije neovisan o ostalim postulatima i aksiomima, te mnogo uzaludnih pokušaja da se to dokaže u 2000 godina. Duboko uvjeren da je peti postulat, suprotno vjekovnoj hipotezi, ipak pravi aksiom neovisan o ostalima, Nikolaj Ivanovič Lobačevski (istodobno s njim i Carl Friedrich Gauss i János Bolyai) izgradio je geometrijski sustav koji se zasnivao na negaciji petog Euklidova postulata i tako je nastala prva neeuklidska geometrija. Nekontradiktornost tog aksiomatskoga sustava dokazali su poslije Eugenio Beltrami i Felix Klein konstrukcijom odgovarajućega modela.
Osnovna je značajka sferne, odnosno eliptičke geometrije zahtjev da se u njoj svaka dva pravca iste ravnine sijeku. Zbog toga se njihove aksiomatike znatno razlikuju od euklidske. Geometrija na kuglinoj plohi najzorniji je model sferne geometrije. Ako se u geometriji na kugli identificiraju dijametralne točke, nastaje jedan od najznačajnijih modela eliptičke geometrije. Osnovne su značajke tih geometrijskih sustava npr.: duljina pravca je konačna, zbroj kutova trokuta veći je od dva prava kuta (razlika od dva prava kuta naziva se ekscesom toga trokuta), površina trokuta proporcionalna je s njegovim ekscesom. Sferna i eliptička geometrija nazivaju se katkad i Riemannovim geometrijama (u užem smislu), prema Georgu Friedrichu Bernhardu Riemannu, koji je prvi uočio mogućnost njihova postojanja. Na osnovi njegovih radova poslije su sve te geometrije shvaćene kao posebni slučajevi jedne teorije (Riemannova geometrija u širem smislu). Neeuklidske geometrije su upozorile na mogućnost postojanja prostora različitih od tradicionalnoga i potaknule širenje diferencijalne geometrije na višedimenzionalne prostore. Našle su primjenu i u teorijskoj fizici (teoriji relativnosti). (→ sferna trigonometrija; neperove analogije)
