funkcija kompleksne varijable, funkcija kojoj je argument z kompleksna varijabla z = x + iy. Funkcija w = f (z) = u + iv, gdje su u i v realni, definirana je ako su poznate dvije funkcije dviju realnih varijabli: u = u (x, y), v = v (x, y). Funkcija kompleksne varijable preslikava ravninu z u ravninu w (ako je funkcija w = f (z) jednoznačna), a u skup nekoliko ravnina postavljenih jedna na drugu ako je višeznačna (npr. n√ z , arcsin z itd.). Pojmovi kao što su limes, neprekidnost, derivacija itd., definiraju se formalno jednako kao za funkcije realne varijable, no za razliku od funkcija realne varijable javljaju se općenito veliki problemi pri ustanovljivanju derivabilnosti.
Funkcija w = ƒ (z) je analitička u točki z0 ako je derivabilna u svim točkama nekoga kruga sa središtem u z0 (ma kako malog polumjera). Funkcija je analitička u suvislom području ako je analitička u svim točkama zadanoga područja. Nuždan i dovoljan uvjet da funkcija u + iv = f (x + iy) bude analitička jesu Cauchy-Riemannovi uvjeti:
∂u/∂x = ∂v/∂y ; ∂u/∂y = − ∂v/∂x
Npr. funkcija ƒ (z) = z², kod koje iz z = x + iy slijedi u = x² – y², v = 2xy, posvuda je analitička, a funkcija f (z) = u + iv za u = 2x + y i v = x + 2y nije nigdje analitička.
Ako se funkcija ƒ (z) dobiva izvršenjem određenih algebarskih operacija na kompleksnoj veličini z, onda se ƒ (z) naziva algebarskom funkcijom kompleksne varijable. Takve su npr. funkcije ƒ (z) = az + b, ƒ (z) = 1/z , ƒ (z) = z², ƒ (z) = z + 1/z − 1 , ƒ (z) = √ (z² − a²) itd. (→ analitička funkcija)
