algebarska teorija brojeva

algebarska teorija brojeva, dio teorije brojeva kojoj je osnovna zadaća proučavanje aritmetičkih svojstava cijelih brojeva polja K algebarskih brojeva konačnog stupnja n nad poljem Q racionalnih brojeva. Svi se ti cijeli brojevi mogu dobiti s pomoću osnovne baze (ω1, ω2, … ωn) ako u linearnom obliku x1ω+ xω+ … + xnωn svaki dobiva vrijednosti svih cijelih racionalnih brojeva.

Prijelaz od cijelih racionalnih brojeva k cijelim algebarskim brojevima nije moguć na temelju analogije: polje racionalnih brojeva ima dvije jedinice (–1 i +1) dok opća polja algebarskih brojeva mogu sadržavati i beskonačno mnogo jedinica. Drugo narušavanje analogije nastaje kod rastavljanja cijelih racionalnih brojeva u na proste faktore, gdje vrijedi u = p1a1 · p2a² · … · pkak.

Kod algebarskih brojeva nije tako. Ako je zadano polje Q ( −5 ), u njemu je broj 6 moguće rastaviti na dva načina:

6 = 2 · 3 i 6 = (1 + −5 ) (1 + −5 )

Treće je narušavanje analogije opstojnost prostih brojeva. Tako je prosti broj 5, ako je zadano polje Q ( −1 ), moguće rastaviti na dva faktora: 5 = (2 + −1 ) (2 − −1 ).

Četvrti je problem opća struktura polja algebarskih brojeva. Ta su četiri problema predmet proučavanja algebarske teorije brojeva.

Citiranje:
algebarska teorija brojeva. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 23. 9. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=1696>.