Eulerovi integrali

Eulerovi integrali [i'ləɹ~], dvije vrste određenih integrala, koje je uveo Leonhard Euler. Eulerovi integrali prve vrste ili beta-funkcije:

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}\mathrm{d}x}$ ili ${\displaystyle B(p,q)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{p-1}}{(1+x)p+q}\mathrm{d}x.}$

Eulerovi integrali druge vrste ili gama-funkcije:

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(p)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{p-1}\mathrm{d}x.}$

Kada je p = n prirodni broj, vrijedi Γ(n) = (n – 1)!, tj. gama-funkcija povezana je s faktorijelima, zbog kojih je Euler upravo i uveo te funkcije kako bi pojam faktorijela mogao proširiti i na sve realne pozitivne brojeve. Vrijedi ova veza između Eulerovih integrala prve i druge vrste:

B (p, g) = Γ(p) · Γ(q)/Γ(p + q).