algebarska teorija brojeva, dio teorije brojeva kojoj je osnovna zadaća proučavanje aritmetičkih svojstava cijelih brojeva polja K algebarskih brojeva konačnog stupnja n nad poljem Q racionalnih brojeva. Svi se ti cijeli brojevi mogu dobiti s pomoću osnovne baze (ω1, ω2, … ωn) ako u linearnom obliku x1ω1 + x2 ω2 + … + xnωn svaki dobiva vrijednosti svih cijelih racionalnih brojeva.
Prijelaz od cijelih racionalnih brojeva k cijelim algebarskim brojevima nije moguć na temelju analogije: polje racionalnih brojeva ima dvije jedinice (–1 i +1) dok opća polja algebarskih brojeva mogu sadržavati i beskonačno mnogo jedinica. Drugo narušavanje analogije nastaje kod rastavljanja cijelih racionalnih brojeva u na proste faktore, gdje vrijedi u = p1a1 · p2a² · … · pkak.
Kod algebarskih brojeva nije tako. Ako je zadano polje Q (√ −5 ), u njemu je broj 6 moguće rastaviti na dva načina:
6 = 2 · 3 i 6 = (1 +√ −5 ) (1 +√ −5 )
Treće je narušavanje analogije opstojnost prostih brojeva. Tako je prosti broj 5, ako je zadano polje Q (√ −1 ), moguće rastaviti na dva faktora: 5 = (2 +√ −1 ) (2 −√ −1 ).
Četvrti je problem opća struktura polja algebarskih brojeva. Ta su četiri problema predmet proučavanja algebarske teorije brojeva.
