brojevni sustavi

brojevni sustavi, načini označivanja ili izražavanja brojeva nizovima znakova ili naziva. Po strukturi, oni su najčešće aditivni ili aditivno-multiplikativni. Kod aditivnog sustava niz znakova ili riječi predočuje broj jednak zbroju brojeva što ih predočuju pojedini znakovi ili riječi niza: npr. sto devet = 100 + 9 = 109; XXVII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27. Kod aditivno-multiplikativnog sustava brojevi što ih predočuju simboli ili riječi pojedinih skupina danoga niza međusobno se pomnože i tako dobiveni brojevi zbroje, npr. četrdeset pet = 4 · 10 + 5 = 45. Ima i aditivno-suptraktivnih notacija, npr. XXIX = 10 + 10 + (10 – 1) = 29.

Multiplikand, koji kod aditivno-multiplikativnih sustava ulazi kao komponenta oznake ili naziva za broj, naziva se baza. Danas se općenito upotrebljava dekadski ili decimalni sustav, tj. aditivno-multiplikativni brojevni sustav s bazom 10. Povijesno, on se razvio odatle što prstiju, kojima se nekad brojilo, na obje ruke imamo 10. Iz analognih razloga razvili su se i neki kvinarni sustavi, s bazom 5, i neki vigezimalni (vicezimalni, dvadesetični) sustavi, s bazom 20 (prsti na jednoj ruci, odnosno na objema rukama i nogama). Na takvo podrijetlo tih sustava upućuju uostalom i mnogi nazivi za brojeve na jezicima plemenâ koja se takvim sustavima još uvijek služe: neka od njih npr. za 5 kažu »jedna ruka«, a za 20 »cijeli čovjek«. Ostataka vigezimalnog sustava ima i u francuskom jeziku, npr.: quatre-vingts = 4 · 20 = 80, u albanskom, npr. dyzet = 2 · 20 = 40, a razmjerno dosljedan vigezimalni sustav brojeva nalazimo u baskijskom i gruzijskom. Na razvoj seksagezimalnih sustava, s bazom 60, utjecala su astronomska motrenja. Duodecimalni sustav, s bazom 12, imao bi praktičnih prednosti pred dekadskim (djeljivost s 2, 3, 4 i 6), pa se razmatrala mogućnost da se njime zamijeni dekadski; ipak, to bi u prijelaznom razdoblju uzrokovalo velike teškoće pa ta ideja nije ostvarena. Načelno bi bio upotrebljiv sustav s bilo kojom bazom, no prevelikim bi bazama bio nedostatak preopsežan »jedanputjedan«, a premalima to što bi već označivanje relativno malih brojeva zahtijevalo previše simbola. Diadski sustav, s bazom 2, upotrebljava se kod elektroničkih računskih strojeva, jer su za predočivanje brojeva potrebne samo dvije znamenke 0 i 1, čemu odgovaraju dvije mogućnosti: odašiljanja ili neodašiljanja električnih impulsa.

Uvođenjem znaka 0 (koji potječe od Indijaca) za »ništa« omogućeno je tzv. pozicijsko pisanje brojeva. Vrijednost pojedinog simbola u nizu ovisi ovdje o mjestu (poziciji) na kojem se on nalazi, npr.: 5604 = 5 · 10³ + 6 · 10² + 0 · 101 + 4 · 100. U Europu su pozicijsko pisanje brojeva iz Indije prenijeli Arapi; ono je omogućilo jednostavno računanje s tako predočenim brojevima i moglo je zamijeniti računanje na abaku.

Dekadski sustav poznavali su već stari Egipćani, ali bez pozicijskog pisanja brojeva. Oni su imali posebne znakove za dekadske jedinice (potencije od 10) do 105, a osim toga i poseban znak za »neizrecivo velik broj«. U sanskrtu su postojali posebni nazivi za dekadske jedinice do 1010. Međutim, u Europi se još u XVI. st. milijun izražava i s »tisuću tisuća«. Azteki su imali posebne nazive za 20² i 20³.

Pisani brojevni sustavi

Usporedno s pismom razvili su se i pisani brojevni sustavi za označivanje brojeva. Kod starih naroda niknuli su različiti sustavi, koji su se tijekom vremena razvijali i mijenjali. Pisani brojevni sustav posebno su razvili Sumerani, od kojih su ga preuzeli Babilonci. Sumerani su upotrebljavali decimalni i seksagezimalni (šezdesetični) brojevni sustav. Seksagezimalni brojevni sustav služio im je samo za znanstvene potrebe, a imao je kao pomoćnu bazu 10; taj se sustav i danas zadržao u astronomiji. Primitivniji su brojevni sustavi aditivni, kao hijeratski egipatski sa znakovima za 1, 2, 3, … 9, 10, 20, … 90, 100.

Egipatskomu se tipu približavaju fenička, stara sirijska, palmirska, grčka atička i dr. numeracije. Razvijeniji je oblik aditivno-multiplikativni pisani brojevni sustav, kakav su razvili Sumerani.

Sumerani su imali bazu 60, ali nisu imali nulu, a to je značilo teškoću za računanje. Rimljani su preuzeli sustav pisanja brojeva od Etruščana, samo su, različito od njih, počeli pisati brojeve slijeva udesno. Iz znakova za brojeve vidi se da je dekadski sustav kod Etruščana proizašao iz kvinarnoga. Kod Etruščana, odnosno kod Rimljana, ako se manji znak piše ispred većega, oni se onda odbijaju; inače se zbrajaju. Iz etrurskih znakova Rimljani su razvili svoje brojevne znakove.

Mnogi su narodi upotrebljavali slova alfabeta kao brojke. Tako su i Grci i Jonjani razvili aditivni sustav, upotrebljavajući kao znakove slova svojega alfabeta, a to je preuzeto i u grčki klasični alfabet. Poput Grka, i Slaveni su slovima svojih najstarijih pisama (glagoljice i ćirilice) dali određenu brojčanu vrijednost. Slično su slovima svojih alfabeta bilježili brojeve Sirijci (Sirci, Aramejci), Židovi, Armenci, a isprva i Arapi.

Citiranje:
brojevni sustavi. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 18. 9. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=9668>.