eliptični integrali

eliptični integrali, integrali tipa ${\displaystyle \int R(x,\sqrt{a{x}^3+b{x}^2+cx+d})\mathrm{d}x}$ i ${\displaystyle \int R(x,\sqrt{a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e})\mathrm{d}x}$ u slučajevima kada ti integrali nisu elementarne funkcije. Mogu se prevesti u neki od Legendreovih oblika:

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\phi }}& (1)\\ \int \sqrt{1-k^2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\phi }\mathrm{d}\phi & (2)\\ \int \frac{\mathrm{d}\phi }{(1+h{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\phi )\sqrt{1-k^2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\phi }}& (3)\end{array}\}(\mathrm{z}\mathrm{a}0<\phi <\frac{\pi }{2})$$

koji se sukcesivno nazivaju eliptičnim integralima prve, druge i treće vrste.