brojevni sustav

brojevni sustav, skup znakova i pravila za zapisivanje brojeva. Broj se može izraziti jednom ili više znamenaka, ili kombinacijom znamenaka i drugih simbola.

Znamenke brojevnih sustava

U svakodnevnom životu se za zapisivanje brojeva najčešće primjenjuju indijsko-arapske znamenke (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i rimske znamenke (I, V, X, L, C, D, M), u računalima se kao znamenke rabe indijsko-arapski znakovi i latinična slova (npr. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). U povijesnim brojevnim sustavima i onima suvremenima koji se manje primjenjuju, brojevi se zapisuju s pomoću različitih simbola.

Pravila brojevnih sustava

Po strukturi, brojevni sustavi su najčešće aditivni ili aditivno-multiplikativni.

Aditivni brojevni sustav omogućava predočavanje brojeva zbrajanjem vrijednosti pojedinih znakova ili riječi niza. Primjerice, u rimskome brojevnom sustavu, u zapisu broja XXVI zbrajaju se vrijednosti niza znamenaka X = deset, V = pet i I = jedan, pa je XXVI = deset + deset + pet + jedan = dvadeset šest.

Aditivno-suptraktivni brojevni sustav u zapisu broja rabi i oduzimanje, npr. u rimskome brojevnom sustavu XXIX = deset + deset + (deset – jedan) = dvadeset devet.

Aditivno-multiplikativni brojevni sustav rabi znakove kojima se vrijednosti međusobno zbrajaju i množe, npr. u indijsko-arapskome dekadskome brojevnom sustavu 145 = jedan · sto + četiri · deset + pet = sto četrdeset pet.

Podjela brojevnih sustava prema ovisnosti vrijednosti znamenke o položaju

Nepoložajni (nepozicijski) brojevni sustav prikazuje brojeve znamenkama kojima vrijednost ne ovisi o položaju u zapisu broja, npr. u rimskome brojevnom sustavu broj XXX sastoji se od tri znaka koji jednako vrijede na svakome mjestu. U takvim sustavima znak za nulu nije potreban, za veće brojeve potrebno je dodavati nove znamenke, a obavljanje aritmetičkih operacija je složeno.

Položajni (pozicijski) brojevni sustav prikazuje brojeve znamenkama kojima vrijednost ovisi o položaju u zapisu broja. Znamenka na posljednjem položaju ima vlastitu vrijednost, a vrijednost znamenaka prema lijevo množi se s osnovicom, prva jedanput, druga dva puta, treća tri puta itd. Primjerice u dekadskome brojevnom sustavu:

5604 = 5 · 10 · 10 · 10 + 6 · 10 · 10 + 0 · 10 + 4. U položajnom je sustavu nužno imati znak za nulu, broj znamenaka ograničen je, tj. broj znamenaka u nekom položajnom sustavu je osnovica toga brojevnog sustava. Obavljanje aritmetičkih operacija je jednostavno.

Podjela položajnih brojevnih sustava prema osnovici

Prema osnovici, brojevni sustav može biti dekadski (osnovica 10), binarni (2), oktalni (8), heksadekadski (16) i dr. Dekadski ima najširu primjenu, binarni se primjenjuje u računalima, oktalni i heksadekadski primjenjuju se u računalima za sažeto bilježenje binarnih brojeva (jednom oktalnom znamenkom mogu se zamijeniti tri, a jednom heksadekadskom četiri binarne znamenke), duodecimalni (12) primjenjuje se djelomično za mjerenje vremena (broj sati u danu i broj mjeseci u godini), seksagezimalni (60) primjenjuje se djelomično za mjerenje vremena i kutova (broj minuta u satu i broj sekundi u minuti, broj kutnih minuta u stupnju i broj kutnih sekundi u kutnoj minuti) i dr.

Usporedba zapisa brojeva od nula do sedamnaest u najčešće primjenjivanim brojevnim sustavima

Neki slijed znamenaka u različitim brojevnim sustavima može predstavljati različite brojeve. Na primjer, znamenke 11 predstavljaju broj jedanaest u dekadskome brojevnom sustavu, broj tri u binarnome, devet u oktalnome i sedamnaest u heksadekadskome. U prigodama kad bi moglo doći do nesporazuma, osnovica se označava indeksom s desne strane zapisa broja, npr. jedanaest = 11₁₀ = 1011₂ = 13₈ = B₁₆.

Povijesni razvoj brojevnih sustava

Dekadski brojevni sustav razvio se od 10 prstiju, kojima se i u starijem kamenom dobu brojilo i računalo. Iz analognih razloga razvili su se i neki kvinarni sustavi, s osnovicom 5, i neki vigezimalni (vicezimalni, dvadesetični) sustavi, s osnovicom 20 (prsti na jednoj ruci, odnosno na objema rukama i nogama). Na anatomsko podrijetlo tih sustava upućuju mnogi nazivi za brojeve na jezicima plemenâ koja se takvim sustavima još uvijek služe: neka od njih npr. za 5 kažu »jedna ruka«, a za 20 »cijeli čovjek«. Ostataka vigezimalnoga sustava ima i u francuskom jeziku, npr.: quatre-vingts = 4 · 20 = 80, u albanskome, npr. dyzet = 2 · 20 = 40, a razmjerno dosljedan vigezimalni sustav brojeva nalazi se u baskijskome i gruzijskome.

Najstariji zapis brojevnoga sustava ostavili su Sumerani koji su rabili aditivno-multiplikativni seksagezimalni (šezdesetični) brojevni sustav. Na razvoj takva sustava utjecala su astronomska motrenja, tj. podjela kruga na 360 stupnjeva zbog gibanja Zemlje oko Sunca za približno 360 dana.

Stari Egipćani razvili su aditivni dekadski brojevni sustav. Imali su posebne znakove za dekadske jedinice (jedan – štapić, deset – potkova, sto – uže, tisuću – lotosov cvijet, deset tisuća – prst, sto tisuća – gušterica i milijun – božanstvo) i poseban znak za »neizrecivo velik broj« a brojeve su zapisivali slaganjem znakova. Egipatskomu brojevnom sustavu nalikuju fenički, stari sirijski, palmirski, grčki atički i dr. Grčki atički brojevi od jedan do četiri bili su okomite crte, kao u hijeroglifima. Simbol za pet bilo je grčko slovo Π (pi), što je početno slovo grčke riječi za pet, pénte. Brojevi od šest do devet bili su Π s okomitim crtama pokraj. Deset se predstavljalo slovom Δ (delta), početnim slovom grčke riječi za deset, déka, sto slovom H (hekatón), tisuću slovom X (khílioi), deset tisuća slovom M (myríoi).

Jonski brojčani sustav, razvijen u III. st. pr. Kr., rabio je cijeli alfabet i tri arhaična slova. Dvadeset i sedam slova podijeljeno je u tri skupine: prvih devet označavalo je jedinice (jedan – alfa, dva – beta, tri – gama, itd.), drugih devet desetice (deset – jota, dvadeset – kapa, trideset – lambda, …) i trećih devet stotice (sto – ro, dvjesto – epsilon, tristo – tau, itd.), a dodatnim simbolima nastajali su znakovi za veće brojeve.

Rimljani su preuzeli sustav pisanja brojeva od Etruščana, samo su, različito od njih, pisali brojeve slijeva udesno. Iz znakova za brojeve vidi se da je dekadski sustav kod Etruščana proizašao iz kvinarnoga.

Srednjoameričke civilizacije pretkolumbovske Amerike rabile su vigezimalne brojevne sustave; Maje su imale posebne znakove za jedan (točka), pet (crta) i nulu (oblik školjke), koji su dobivali i vrijednosti za jedinice, dvadesetice i četiristotice u vertikalnom položajnom sustavu pisanja brojeva od dna prema gore (najniži red za jedinice, srednji za dvadesetice, najviši za četiristotice).

Mnogi su narodi rabili slova svog pisma kao znamenke. Slaveni su zapisivali brojeve slovima svojih najstarijih pisama (glagoljice i ćirilice). Prvih devet slova glagoljice označuje jedinice, sljedećih devet desetice, zatim stotice te naposljetku slovo č označuje 1000. U hrvatskoglagoljskim tekstovima potvrđeno je slovo ša za 2000, jat za 4000 i ju za 5000. Kako bi se brojevi razlikovali od slova u uvjetima neprekinutoga pisanja, označivali su se točkicama s obiju strana te titlom iznad svakog elementa.

Položajno pisanje brojeva Arapi su iz Indije prenijeli u Europu, a njegovu širu primjenu potaknuo je Leonardo Fibonacci Knjigom o abacima, 1202. Omogućilo je jednostavno računanje i danas se rabi u cijelom svijetu. Izgled znamenaka standardiziran je razvojem tiskarstva.