STRUKE:

redovi

redovi, beskonačni izrazi oblika a1 + a2 + … + an + … = redovi 1.jpg. Zbrojnici ak su članovi reda; mogu biti brojevi, vektori, matrice, funkcije i dr. pa se govori o redu brojeva, redu vektora, redu matrica, redu funkcija itd. Osnovni je slučaj da su članovi reda brojevi. Svakom redu jednoznačno je pridružen niz redovi 2.jpg, zvan niz parcijalnih zbrojeva toga reda. Ako niz sn konvergira, tj. ako je lim sn = S, za n  → ∞, konačan broj, kaže se da je red konvergentan i da je njegova zbroj S, odnosno da je divergentan ako taj limes ne postoji ili je beskonačan. Na taj se način pitanje konvergencije reda svodi na pitanje konvergencije niza. Npr. geometrijski red redovi 1.jpg, ak = a1qk–1, kojemu članovi čine geometrijski niz, konvergentan je za | q | < 1, a zbroj mu je S = a1/1 − q, dok je divergentan za | q | ≥ 1. Divergentan je npr. i harmonijski red redovi 4.jpg. Uvjeti i kriteriji konvergencije te izračunavanje zbroja reda osnovni su problemi teorije redova. Opći je princip konvergencije reda: da bi red konvergirao, nužno je i dovoljno da za svaki ε > 0 postoji takav prirodni broj N da za sve n > N vrijedi redovi 5.jpg < ε kakav god bio m, ili slobodnije rečeno: zbroj ma koliko uzastopnih članova reda uzetih iza dovoljno dalekoga člana mora biti po volji malen. Važan je kriterij za utvrđivanje konvergencije reda njegova usporedba s nekim drugim konvergentnim redovima, što se zasniva na teoremu: ako je red redovi 6.jpg konvergentan, a za članove reda redovi 1.jpg vrijedi |an| < bn za sve n veće od nekog N, tada i red redovi 1.jpg konvergira. Od posebnih kriterija konvergencije reda najvažniji su Cauchyjev i d’Alembertov: ako za red redovi 1.jpg s pozitivnim članovima počevši od nekog n uvijek vrijedi an + 1/an ≤ q za neko q < 1, odnosno n an < q < 1, gdje je q neki konstantni broj isti za sve n, on konvergira. Ti kriteriji daju samo dovoljne uvjete konvergencije. Za neki red kaže se da konvergira apsolutno ako je red apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergentan, a tada je i on sam konvergentan. Za takav tip konvergencije primjenljivi su prednji kriteriji. Za apsolutno konvergentne redove vrijedi svojstvo komutativnosti članova (tj. poredaju li mu se članovi bilo kako, takav će red ostati konvergentan i zbroj se neće promijeniti), što inače ne mora biti. Npr. red s alternirajućim predznacima članova 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … konvergira i zbroj mu je ln 2. Nakon promjene redoslijeda 1 – 1/2 – 1/4 + 1/3 – 1/6 – 1/8 + … također konvergira, ali mu je zbroj 1/2 ln 2.

Važana su vrsta redova redovi funkcija općeg oblika redovi 9.jpg, gdje je fk niz danih funkcija definiranih na istom skupu i s vrijednostima u skupu realnih brojeva. Ako za svako x red redovi 16.jpg konvergira i označi li se zbroj s f(x), f je funkcija definirana na istom skupu kao fk. Tada se kaže da red funkcija redovi 9.jpg konvergira i da mu je zbroj funkcija f. Među redovima funkcija posebno su važni redovi potencija općeg oblika redovi 10.jpg, jer se s pomoću njih mogu prikazati mnoge funkcije (→ maclaurin, colin; taylor, brook), kao npr. sin x = x – x³/3! + x5/5! – …, ex = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …

U matematičkoj analizi značajni su i trigonometrijski redovi, poznati kao Fourierovi redovi, kojima se može prikazati periodična funkcija f(x) s periodom T (koja ispunjava još neke uvjete) u obliku: redovi 13.jpg, gdje su koeficijenti dani s redovi 14.jpg, redovi 15.jpg, T = 2π. (→ fourierova transformacija; fourierov integral)

redovi. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 11.12.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=52180>.