trigonometrijski identitet

trigonometrijski identitet, jednakost dvaju trigonometrijskih izraza koja ostaje točna ako se umjesto općih brojeva u nju uvrste bilo koje vrijednosti. Trigonometrijski identiteti povezuju trigonometrijske funkcije i koriste se kada je potrebno pojednostavniti matematičke izraze.

Osnovni trigonometrijski identiteti:

1) funkcije jednog kuta

sin² x + cos² x = 1;

sin x / cos x = tan x;

cos x / sin x = cot x;

tan x · cot x = 1;

2) funkcije zbroja i razlike kutova:

sin (x ± y) = sin cos y ± cos sin y;

cos (x ± y) = cos x cos y ± sin sin y;

tan (x ± y) = tan x ± tan y/1 ∓ tan x tan y .

Odatle slijedi niz specijalnih slučajeva, kao npr.

sin (x ± π) = – sin x;

cos (x ± π) = – cos x;

sin (x ± π/2) = ± cos x;

cos (x ± π/2) = ± sin x;

sin 2x = 2 sin x cos x;

cos 2x = cosx – sin²x;

tan 2= 2 tan x/(1 – tan²x);

3) parnost funkcija

sin (–x) = – sin x;

cos (–x) = cos x;

tan (–x) = – tan x;

cot (–x) = – cot x,

4) potencije funkcija

2 sin² x/2 = 1 – cos x;

2 cos² x/2 = 1 + cos x;

sin³ x = 1/4 (3 sin x – sin 3x);

cos³ x = 1/4 (3 cos x + cos 3x);

sin4 x = 1/8 (cos 4x – 4 cos 2x + 3);

cos4 x = 1/8 (cos 4x + 4 cos 2x + 3);

5) zbroj i razlika funkcija

sin x + sin y = 2 sin [(x + y)/2] cos [(x – y)/2];

sin – sin y = 2 cos [(x + y)/2] sin [(– y)/2];

cos + cos y = 2 cos [(x + y)/2] cos [(x – y)/2];

cos – cos y = – 2 sin [(x + y)/2] sin [(x – y)/2];

6) derivacije funkcija

 dsin x/dx = cos x;

dcos x/dx = – sin x

dtan x/dx = 1/cos² x;
dcot x/dx = –1/sin² x.

Citiranje:
trigonometrijski identitet. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 26. 10. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=70330>.