ANALITIČKA GEOMETRIJA, udaljenost dviju točaka
analitička geometrija, grana geometrije u kojoj se geometrijski problemi rješavaju algebarskim metodama. Temelji se na ideji da se točke prostora opisuju s pomoću brojeva, koji se nazivaju koordinate tih točaka a geometrijske krivulje i plohe prikazuju s pomoću algebarskih jednadžbi. Pridruživanje koordinata točkama prostora omogućeno je izborom određenoga koordinatnog sustava. Postoje različite vrste takvih sustava; često je najprikladniji Kartezijev koordinatni sustav. Njihova geometrijska svojstva odražavaju se u funkcionalnoj ovisnosti između koordinata njihovih točaka – u jednadžbama tih tvorevina. Svakomu geometrijskom svojstvu tvorevine odgovara određeno algebarsko svojstvo pripadnih jednadžbi i obratno. Na taj se način algebarskim metodama istražuju geometrijska svojstva. René Descartes 1637. izložio je osnovno načelo povezivanja metode koordinata s algebarskom metodom rješavanja geometrijskih zadataka. Analitička geometrija omogućila je diferencijalnu geometriju i druge matematičke discipline.
Jednadžbe analitičke geometrije u ravnini
Jednadžba pravca kroz dvije točke T1 (x1, y1) i T2 (x2, y2):
| y – y1 |
= |
x – x1 |
| y2 – y1 |
x2 – x1 . |
Udaljenost d dviju točaka T1 (x1, y1) i T2 (x2, y2):
d = √ (x2 ± x1)² + (y2 ± y1)² .
Udaljenost točke T (x0, y0) od pravca Ax + By + C = 0:
\[d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Ploština S višekuta s vrhovima T1 (x1, y1), T2 (x2, y2), …, Tn (xn, yn):
S = 1/2 [(x1 − x2) (y1 + y2) + (x2 − x3) (y2 + y3) + … + (xn − x1) (yn + y1)].
Jednadžbe analitičke geometrije u prostoru
jednadžba pravca kroz dvije točke T1 (x1, y1, z1) i T2 (x2, y2, z2):
| x – x1 |
= |
y – y1 |
= |
z – z1 |
| x2 – x1 |
y2 – y1 |
z2 – z1. |
Segmentni oblik jednadžbe ravnine:
x/a + y/b + z/c = 1,
gdje su a, b i c odsječci na osima u kojima ih ravnina presijeca.