ANALITIČKA GEOMETRIJA, udaljenost dviju točaka
analitička geometrija, grana geometrije u kojoj se geometrijski problemi rješavaju algebarskim metodama. Temelji se na ideji da se točke prostora opisuju s pomoću brojeva, koji se nazivaju koordinate tih točaka a geometrijske krivulje i plohe prikazuju s pomoću algebarskih jednadžbi. Pridruživanje koordinata točkama prostora omogućeno je izborom određenoga koordinatnog sustava. Postoje različite vrste takvih sustava; često je najprikladniji Kartezijev koordinatni sustav. Njihova geometrijska svojstva odražavaju se u funkcionalnoj ovisnosti između koordinata njihovih točaka – u jednadžbama tih tvorevina. Svakomu geometrijskom svojstvu tvorevine odgovara određeno algebarsko svojstvo pripadnih jednadžbi i obratno. Na taj se način algebarskim metodama istražuju geometrijska svojstva. René Descartes 1637. izložio je osnovno načelo povezivanja metode koordinata s algebarskom metodom rješavanja geometrijskih zadataka. Analitička geometrija omogućila je diferencijalnu geometriju i druge matematičke discipline.
Neke važne poznatije jednadžbe analitičke geometrije u ravnini jesu:
– jednadžba pravca kroz dvije točke T1 (x1, y1) i T2 (x2, y2)
| y – y1 |
= |
x – x1 |
| y2 – y1 |
x2 – x1 |
– udaljenost d dviju točaka T1 (x1, y1) i T2 (x2, y2)
d = √ (x2 ± x1)² + (y2 ± y1)²
– ploština S višekuta s vrhovima T1 (x1, y1), T2 (x2, y2) … … Tn (xn, yn)
S = 1/2 [(x1 − x2) (y1 + y2) + (x2 − x3) (y2 + y3) + … + (xn − x1) (yn + y1)]
a za analitičku geometriju u prostoru:
– jednadžba pravca kroz dvije točke T1 (x1, y1, z1) i T2 (x2, y2, z2),
| x – x1 |
= |
y – y1 |
= |
z – z1 |
| x2 – x1 |
y2 – y1 |
z2 – z1 |
– te segmentni oblik jednadžbe ravnine
x/a + y/b + z/c = 1,
gdje su a, b i c odsječci na osima u kojima ih ravnina presijeca.