STRUKE:

topologija

topologija (topo- + -logija), grana suvremene matematike koja proučava svojstva prostora vrlo općenita karaktera (→ topološki prostor) i neprekidna preslikavanja, tj. transformacije (funkcije) koje preslikavaju jedan prostor u drugi, pridružujući svakoj točki prvoga prostora jednu točku drugoga prostora tako da se ne naruši odnos »blizine« točaka u prostoru. Od posebne su važnosti neprekidne bijekcije (→ funkcija); ako je k tomu i pripadno inverzno preslikavanje neprekidno, onda je riječ o tzv. topološkim preslikavanjima ili homeomorfizmima. Ta su preslikavanja, slikovito govoreći, deformacije bez kidanja i lijepljenja, kakve se npr. mogu izvoditi s objektima od elastične gume. Dva prostora koja se mogu jedan na drugi topološki preslikati sa stajališta su topologije ekvivalentna. Tako su npr. kocka i kugla ekvivalentne, jer se očito može opisanim deformacijama prijeći iz kocke u kuglu i obrnuto. U topologiji se proučavaju napose ona svojstva koja se ne mijenjaju pri topološkim preslikavanjima; to su tzv. topološke invarijante. Primjer je takve invarijante dimenzija. Kocka i kvadrat nisu topološki ekvivalentni, jer su različitih dimenzija (3 odnosno 2). S druge strane, sfera i torusna ploha (»kolut za spašavanje«) iste su dimenzije (2), a ipak nisu topološki ekvivalentne. To dokazuje činjenica da svaka jednostavna zatvorena krivulja C na kuglinoj plohi dijeli tu plohu na dva dijela, dok na torusu postoje jednostavne zatvorene krivulje C’, koje tu plohu ne komadaju.

Topologija je disciplina novijega datuma. Razvila se početkom XX. st., osobito radovima Georga Cantora i Julesa Henria Poincaréa, te Mauricea Frécheta i Luitzena Egbertusa Jana Brouwera. Do razvoja te nove matematičke discipline doveli su s jedne strane problemi matematičke analize, napose teorije realnih funkcija, a s druge strane geometrijski problemi te problemi teorije Riemannovih ploha. Odgovarajući tim dvjema skupinama problema u ranijoj fazi razvoja, jasno su se ocrtala dva smjera u topologiji: skupovna i kombinatorna topologija. S vremenom se pokazalo da je kombinatorno obilježje u biti algebarske naravi, pa je naziv kombinatorna topologija postupno zamijenjen nazivom algebarska topologija. U algebarskoj topologiji pridružuju se prostorima stanoviti objekti apstraktne algebre (grupe, prstenovi itd.) koji su topološke invarijante. Danas su obje grane topologije gusto isprepletene u jedinstvenu teoriju u kojoj su neki od najvažnijih dijelova: teorija homologije, teorija homotipije i diferencijalna topologija. Topologija je osnova mnogih suvremenih grana matematike, a posebno nalazi primjenu u teoriji funkcija, funkcionalnoj analizi, diferencijalnim jednadžbama te diferencijalnoj geometriji i algebarskoj geometriji.

topologija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 13.12.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=61809>.